משפט

אם ${\displaystyle f}$ פונקציה גזירה בנקודה ${\displaystyle a}$ , אז היא רציפה בנקודה ${\displaystyle a}$ . במילים אחרות, גזירות בנקודה גוררת רציפות בה.

הוכחה

עלינו להראות כי ${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=f(a)}$ . נעשה זאת על־ידי כך שנראה כי ההפרש ${\displaystyle f(x)-f(a)}$ שואף ל־0.

על־פי אריתמטיקה של גבולות והגדרת הגזירות:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\to a}{\Big [}f(x)-f(a){\Big ]}&=\lim _{x\to a}{\Big [}f(x)-f(a){\Big ]}\cdot \lim _{x\to a}{\frac {x-a}{x-a}}=\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}\cdot (x-a)\\&=\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}\cdot \lim _{x\to a}(x-a)=f'(a)\cdot 0=0\\\lim _{x\to a}f(x)=\lim _{x\to a}{\Big [}f(a)+{\bigl (}&f(x)-f(a){\big )}{\Bigr ]}=\lim _{x\to a}f(a)+\lim _{x\to a}{\Big [}f(x)-f(a){\Big ]}=f(a)+0=f(a)\end{aligned}}}$$

${\displaystyle \blacksquare }$