משפט

תהי ${\displaystyle f}$ פונקציה רציפה בקטע סגור ${\displaystyle [a,b]}$ . אזי היא מקבלת מינימום ומקסימום בקטע זה.

הוכחה באמצעות המשפט הראשון של ויירשטראס ומשפט ב"ו

נוכיח בה"כ לקבלת מקסימום בקטע.

על-פי המשפט הראשון של ויירשטראס, הפונקציה חסומה מלעיל בקטע ${\displaystyle [a,b]}$ . לכן כתוצאה מאקסיומת השלמות של המספרים הממשיים, קיים לה חסם עליון שנסמנו ${\displaystyle M=\sup {\Big \{}f(x){\Big |}x\in [a,b]{\Big \}}}$ .

כיון שכך, לכל ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ קיימת נקודה ${\displaystyle x_{n}\in [a,b]}$ כך שמתקיים ${\displaystyle M-{\frac {1}{n}}<f(x_{n})\leq M}$ .

לפי משפט בולצאנו-ויירשטראס לסדרה שבנינו קיימת תת-סדרה מתכנסת ${\displaystyle x_{n_{k}}}$ שגבולה ${\displaystyle \lim _{k\to \infty }x_{n_{k}}=x_{0}\in [a,b]}$ .

${\displaystyle M-{\frac {1}{n_{k}}}\leq f(x_{n_{k}})\leq M}$ , ולכן מתקבל על-פי כלל הסנדוויץ' כי ${\displaystyle \lim _{k\to \infty }f(x_{n_{k}})=M}$ .

${\displaystyle f}$ רציפה ומתקבל ${\displaystyle \lim _{k\to \infty }f(x_{n_{k}})=f(x_{0})}$ , ולכן ${\displaystyle f(x_{0})=M}$ כנדרש.

${\displaystyle \blacksquare }$

הוכחה באמצעות המשפט הראשון של ויירשטראס בלבד

אם ${\displaystyle M}$ הוא חסם עליון בקטע אבל אינו מתקבל שם, אז ${\displaystyle M-f(x)>0}$ והפונקציה ${\displaystyle {\frac {1}{M-f(x)}}}$ חיובית ורציפה בכל הקטע.

על-פי המשפט הראשון של ויירשטראס היא חסומה מלעיל, כלומר קיים ${\displaystyle z>0}$ כך שלכל ${\displaystyle x\in [a,b]}$ מתקיים ${\displaystyle {\frac {1}{M-f(x)}}\leq z}$ .

מכך נובע כי ${\displaystyle f(x)\leq M-{\frac {1}{z}}<M}$ , בסתירה לכך ש-${\displaystyle M}$ הוא החסם העליון.

${\displaystyle \blacksquare }$