משפט

תהי ${\displaystyle f}$ פונקציה רציפה בקטע סגור ${\displaystyle [a,b]}$ . אזי היא חסומה בקטע זה.

הוכחה באמצעות משפט בולצאנו-ויירשטראס

נניח בשלילה וללא הגבלת הכלליות כי ${\displaystyle f}$ איננה חסומה מלעיל בקטע ${\displaystyle [a,b]}$ . לפיכך, לכל ${\displaystyle n}$ קיימת נקודה ${\displaystyle x_{n}\in [a,b]}$ עבורה ${\displaystyle f(x_{n})>n}$ .

הסדרה ${\displaystyle x_{n}}$ מוכלת בקטע הסגור ${\displaystyle [a,b]}$ ולכן היא חסומה בו.

על-פי משפט בולצאנו-ויירשטראס, לסדרה שבנינו קיימת תת־סדרה מתכנסת ${\displaystyle x_{n_{k}}}$ שגבולה ${\displaystyle \lim _{k\to \infty }x_{n_{k}}=x_{0}\in [a,b]}$ .

${\displaystyle f}$ רציפה ומתקבל ${\displaystyle \lim _{k\to \infty }f(x_{n_{k}})=f(x_{0})}$ .

מאידך גיסא ${\displaystyle f(x_{n_{k}})\geq n_{k}}$ , כלומר ${\displaystyle f}$ חסומה מלמטה ע"י סדרה ששואפת לאינסוף ולכן ${\displaystyle \lim _{k\to \infty }f(x_{n_{k}})=\infty }$ . סתירה.

${\displaystyle \blacksquare }$

הוכחה באמצעות משפט קנטור

על־פי משפט קנטור לרציפות במידה שווה, ${\displaystyle f}$ רציפה במידה שווה בקטע ${\displaystyle [a,b]}$ .

כלומר לכל ${\displaystyle \varepsilon >0}$ קיים ${\displaystyle \delta >0}$ כך שלכל ${\displaystyle x,y\in [a,b]}$ המקיימים ${\displaystyle |x-y|<\delta }$ מתקיים ${\displaystyle {\bigl |}f(x)-f(y){\bigr |}<\varepsilon }$ .

נחלק את הקטע ${\displaystyle [a,b]}$ ל־${\displaystyle n}$ קטעים שווים שאורכם ${\displaystyle {\frac {b-a}{n}}}$ , נדרוש שאורך כל קטע הנ"ל יהיה קטן מ־${\displaystyle \delta }$ . כלומר ${\displaystyle {\frac {b-a}{\delta }}<n\iff {\frac {b-a}{n}}<\delta }$ .

בכל קטע נבחר נקודה ${\displaystyle x_{k}}$ אמצע הקטע (כאשר חלוקת הקטעים היא ${\displaystyle k=1,\ldots ,n}$). יהי ${\displaystyle x\in k}$ . כיון שאורך הקטע ${\displaystyle k<\delta }$ , לפי הרציפות במידה שווה נסיק כי:

מתקיים ${\displaystyle |x-x_{k}|<\delta }$ ולכן גם ${\displaystyle f(x_{k})-\varepsilon <f(x)<f(x_{k})+\varepsilon \iff {\Big |}f(x)-f(x_{k}){\Big |}<\varepsilon }$ לכל ${\displaystyle x\in k}$ .

נבחר ${\displaystyle m=\min {\Big \{}f(x_{1})-\varepsilon ,\ldots ,f(x_{n})-\varepsilon {\Big \}}\ ,\ M=\max {\Big \{}f(x_{1})+\varepsilon ,\ldots ,f(x_{n})+\varepsilon {\Big \}}}$

לכן נקבל ${\displaystyle m<f(x)<M}$ לכל ${\displaystyle x\in [a,b]}$ .

${\displaystyle \blacksquare }$