משפט

הסדרה ${\displaystyle \{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ מתכנסת (לגבול סופי) אם ורק אם היא סדרת קושי. כלומר, היא מתכנסת אם ורק אם לכל ${\displaystyle \varepsilon >0}$ קיים ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ כך שלכל ${\displaystyle n,m>N}$ מתקיים ${\displaystyle |a_{n}-a_{m}|<\varepsilon }$ .

הוכחה

נניח כי ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=L}$ . לכל ${\displaystyle \varepsilon >0}$ קיים ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ כך שלכל ${\displaystyle n>N}$ מתקיים ${\displaystyle |a_{n}-L|<{\frac {\varepsilon }{2}}}$ . נבחר מספרים ${\displaystyle n,m>N}$ ונקבל כי

$${\displaystyle |a_{n}-a_{m}|={\Big |}a_{n}-L+L-a_{m}{\Big |}\leq |a_{n}-L|+|a_{m}-L|<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon }$$

המעבר השני הוא שימוש באי־שוויון המשולש. אזי הסדרה היא סדרת קושי.

${\displaystyle \blacksquare }$

נניח כי ${\displaystyle \{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ היא סדרת קושי. ראשית, נוכיח כי היא חסומה. לכל ${\displaystyle \varepsilon >0}$ קיים ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ כך שלכל ${\displaystyle n,m>N}$ מתקיים ${\displaystyle |a_{n}-a_{m}|<\varepsilon }$ . אזי לכל ${\displaystyle n>N}$ מתקיים ${\displaystyle a_{N}-\varepsilon <a_{n}<a_{N}+\varepsilon }$ אז הסדרה חסומה בקטע ${\displaystyle [N,\infty )}$ . בקטע ${\displaystyle [\varepsilon ,N]}$ יש לסדרה רק מספר סופי של אברים ולכן היא חסומה שם. לפיכך, הסדרה חסומה על כל הישר הממשי.

על־פי משפט בולצאנו-ויירשטראס, לכל סדרה חסומה יש תת־סדרה מתכנסת. לכן לסדרה יש תת־סדרה המתכנסת לגבול שנסמנו ${\displaystyle L}$ .

נוכיח כי זהו למעשה הגבול של הסדרה. נסמן את תת־הסדרה ${\displaystyle a_{m_{k}}}$ . קיים ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ כך שלכל ${\displaystyle n,m>N}$ מתקיים ${\displaystyle |a_{n}-a_{m}|<{\frac {\varepsilon }{2}}}$ .

מהתכנסות תת־הסדרה נקבל כי לכל ${\displaystyle m_{k}>N}$ מתקיים ${\displaystyle {\bigl |}a_{m_{k}}-L{\bigr |}<{\frac {\varepsilon }{2}}}$ .

אזי לכל ${\displaystyle n>N}$ מתקיים

$${\displaystyle |a_{n}-L|={\Big |}a_{n}-a_{m_{k}}+a_{m_{k}}-L{\Big |}\leq {\bigl |}a_{n}-a_{m_{k}}{\bigr |}+{\bigl |}a_{m_{k}}-L{\bigr |}<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon }$$

לכן ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=L}$ .

${\displaystyle \blacksquare }$