משפט (שטולץ / שטולץ־צ'זארו)

תהי ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ סדרה כלשהי, ותהי ${\displaystyle \{y_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ סדרה מונוטונית עולה ממש ומקיימת ${\displaystyle y_{n}\to \infty }$ .

אם ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n+1}-x_{n}}{y_{n+1}-y_{n}}}=L}$ במובן הרחב, אזי גם ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n}}{y_{n}}}=L}$ .

הוכחה

לפי הגדרת הגבול, לכל ${\displaystyle \varepsilon >0}$ קיים ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ כך שלכל ${\displaystyle n>N}$ מתקיים:

$${\displaystyle L-\varepsilon <{\frac {x_{n+1}-x_{n}}{y_{n+1}-y_{n}}}<L+\varepsilon }$$

${\displaystyle y_{n}}$ סדרה מונוטונית עולה ממש, לכן ${\displaystyle y_{n+1}>y_{n}}$ או ${\displaystyle y_{n+1}-y_{n}>0}$ וניתן להכפיל בו את אי־השוויון. נקבל:

$${\displaystyle (L-\varepsilon )({y_{n+1}-y_{n}})<x_{n+1}-x_{n}<(L+\varepsilon )(y_{n+1}-y_{n})}$$

יהי ${\displaystyle K\in \mathbb {N} }$ המקיים ${\displaystyle K>N}$ . סכימת אי־השוויון לעיל תיתן לנו את אי־השוויון הבא:

$${\displaystyle {\begin{matrix}(L-\varepsilon )\sum \limits _{i=N}^{K}(y_{i+1}-y_{i})<\sum \limits _{i=N}^{K}(x_{i+1}-x_{i})<(L+\varepsilon )\sum \limits _{i=N}^{K}(y_{i+1}-y_{i})\\\\(L-\varepsilon )(y_{K+1}-y_{N})<x_{K+1}-x_{N}<(L+\varepsilon )(y_{K+1}-y_{N})\end{matrix}}}$$

נחלק את אי־השוויון ב־${\displaystyle y_{K+1}>0}$ ונקבל:

$${\displaystyle {\begin{matrix}(L-\varepsilon )\left(1-{\dfrac {y_{N}}{y_{K+1}}}\right)<{\dfrac {x_{K+1}}{y_{K+1}}}-{\dfrac {x_{N}}{y_{K+1}}}<(L+\varepsilon )\left(1-{\dfrac {y_{N}}{y_{K+1}}}\right)\\\\(L-\varepsilon )\left(1-{\dfrac {y_{N}}{y_{K+1}}}\right)+{\dfrac {x_{N}}{y_{K+1}}}<{\dfrac {x_{K+1}}{y_{K+1}}}<(L+\varepsilon )\left(1-{\dfrac {y_{N}}{y_{K+1}}}\right)+{\dfrac {x_{N}}{y_{K+1}}}\end{matrix}}}$$

${\displaystyle y_{n}\to \infty }$ , לכן קיים ${\displaystyle M\in \mathbb {N} }$ המקיים ${\displaystyle M\geq K}$ כך שיתקיים:

$${\displaystyle L-\varepsilon <{\frac {x_{K+1}}{y_{K+1}}}<L+\varepsilon }$$

לכן ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n}}{y_{n}}}=L}$ .

${\displaystyle \blacksquare }$

הערה: כפי שניתן לראות בבירור מההוכחה, מספיק שהסדרה ${\displaystyle y_{n}}$ תהיה חיובית ומונוטונית עולה רק החל ממקום מסוים בסדרה ולאו דווקא החל מתחילתה.