משפט

תהי ${\displaystyle \{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ סדרה חיובית. נסמן ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}=L}$ .

• אם ${\displaystyle L<1}$ אז ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0}$ .
• אם ${\displaystyle L>1,L=\infty }$ אז ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\infty }$ .

הוכחה

• מקרה א': ${\displaystyle L<1}$

בדומה למבחן השורש לטורים, ההוכחה מתבססת על בניית סדרה הנדסית בהתבסס על הגבול והשוואתה לסדרה הנתונה.

ניתן לקצר תהליכים ולהתבסס ישירות על מבחן השורש לטורים כי אם הסדרה חיובית והגבול ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}=L<1}$ , אז המבחן קובע כי הטור ${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ מתכנס,

וכיון שהתכנסות טור גוררת התכנסות הסדרה ל-0, נקבל כי ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0}$ .

${\displaystyle \blacksquare }$

• מקרה ב': ${\displaystyle L>1,L=\infty }$

נבחר מספר ${\displaystyle r}$ המקיים ${\displaystyle L>r>1}$ . כיון ש־${\displaystyle L>1}$ קיים ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ כך שלכל ${\displaystyle n>N}$ מתקיים ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a_{n}}}>r}$ , כלומר ${\displaystyle a_{n}>r^{n}}$ .

${\displaystyle \{r^{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ היא סדרה הנדסית עם מנה ${\displaystyle r>1}$ ולכן שואפת לאינסוף. מאי־השוויון לעיל נובע כי ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\infty }$ .

${\displaystyle \blacksquare }$