משפט

אם סדרה ${\displaystyle \{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ מתכנסת לגבול סופי, אז הסדרה חסומה.

הוכחה

נסמן ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=L}$ .

מכאן לפי הגדרת הגבול קיים ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ כך שלכל ${\displaystyle n>N}$ מתקיים

${\displaystyle L-c<a_{n}<L+c}$

עבור ${\displaystyle c>0}$ כלשהו.

קבוצת אברי הסדרה המקיימים ${\displaystyle n\leq N}$ היא קבוצה סופית של מספרים ממשיים ולכן חסומה. נסמן ב- ${\displaystyle M}$ חסם כלשהו שלה, כלומר:

${\displaystyle -M<a_{n}<M}$

קבוצת אברי הסדרה כולה היא איחוד הקבוצה הראשונה והשניה, לכן היא חסומה מלמעלה על-ידי המקסימום של החסמים העליונים של שתי הקבוצות, וחסומה מלמטה על-ידי המינימום של החסמים התחתונים של שתי הקבוצות, כלומר:

${\displaystyle (\forall n\in \mathbb {N} )\qquad \min\{-M,L-c\}<a_{n}<\max\{M,L+c\}}$

מסקנה: הסדרה ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ חסומה. מ.ש.ל