משפט

הטענות הבאות שקולות:

1. ${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L}$ .
2. לכל ${\displaystyle \varepsilon >0}$ קיים ${\displaystyle \delta >0}$ כך שלכל ${\displaystyle 0<|x-a|<\delta }$ מתקיים ${\displaystyle {\bigl |}f(x)-L{\bigr |}<\varepsilon }$ .
3. לכל סדרה ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ המקיימת ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=a}$ ו־${\displaystyle x_{n}\neq a}$ לכל ${\displaystyle n}$ , מתקיים ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f(x_{n})=L}$ .

הוכחה

${\displaystyle 2\iff 1}$ מכיון שטענה 2 היא פשוט הגדרת הגבול (לפי קושי). לכן, עלינו להוכיח את השקילות בין הגדרות הגבול של קושי ושל היינה, כלומר ${\displaystyle 3\iff 2}$ .

נוכיח ${\displaystyle 3\Leftarrow 2}$ .

תהי ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ סדרה המקיימת ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=a}$ ו־${\displaystyle x_{n}\neq a}$ לכל ${\displaystyle n}$ .

יהי ${\displaystyle \varepsilon >0}$ . קיים ${\displaystyle \delta >0}$ כך שלכל ${\displaystyle 0<|x-a|<\delta }$ מתקיים ${\displaystyle {\bigl |}f(x)-L{\bigr |}<\varepsilon }$ . מהגדרת הגבול קיים ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ כך שלכל ${\displaystyle n>k}$ מתקיים ${\displaystyle |x_{n}-a|<\delta }$ .

מאחר ו־${\displaystyle x_{n}\neq a}$ לכל ${\displaystyle n}$ מתקיים ${\displaystyle 0<|x_{n}-a|<\delta }$ . אזי עבור ${\displaystyle k}$ זה ועבור ${\displaystyle x=x_{n}}$ נקבל כי ${\displaystyle {\bigl |}f(x)-L{\bigr |}<\varepsilon }$ , כלומר ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f(x_{n})=L}$ .

${\displaystyle \blacksquare }$

נוכיח ${\displaystyle 1\Leftarrow 3}$ .

נניח כי לכל סדרה ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ המקיימת ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=a}$ ו־${\displaystyle x_{n}\neq a}$ לכל ${\displaystyle n}$ , מתקיים ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f(x_{n})=L}$ ונוכיח כי ${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L}$ .

נניח בשלילה כי ${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)\neq L}$ . לכן לפי טענה 2 (היא שקולה לטענה 1), קיים ${\displaystyle \varepsilon >0}$ כך שלכל ${\displaystyle \delta >0}$ קיים ${\displaystyle x}$ המקיים ${\displaystyle 0<|x-a|<\delta }$ עבורו ${\displaystyle {\bigl |}f(x)-L{\bigr |}\geq \varepsilon }$ .

בפרט, לכל ${\displaystyle n}$ קיים ${\displaystyle x_{n}}$ המקיים ${\displaystyle |x_{n}-a|<{\frac {1}{n}}}$ עבורו ${\displaystyle {\bigl |}f(x_{n})-L{\bigr |}\geq \varepsilon }$ . אזי ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f(x_{n})\neq L}$ וזוהי סתירה להנחה שלנו. לכן ${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L}$ .

${\displaystyle \blacksquare }$

אזי ${\displaystyle 1\Leftarrow 3\Leftarrow 2\Leftarrow 1}$ , והטענות הן שקולות.