משפט

אם ${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L}$ אזי ${\displaystyle \lim _{x\to a}{\bigl |}f(x){\bigr |}=|L|}$ .

הוכחה

לכל ${\displaystyle \varepsilon >0}$ קיים ${\displaystyle \delta >0}$ כך שלכל ${\displaystyle 0<|x-a|<\delta }$ מתקיים ${\displaystyle {\bigl |}f(x)-L{\bigr |}<\varepsilon }$ .

לפי אי־שוויון המשולש השני מתקיים ${\displaystyle {\Big |}|a|-|b|{\Big |}\leq |a-b|}$ . לפיכך,

$${\displaystyle {\Big |}{\bigl |}f(x){\bigr |}-|L|{\Big |}\leq {\bigl |}f(x)-L{\bigr |}<\varepsilon }$$

${\displaystyle \blacksquare }$