משפט

${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=0}$ אם ורק אם ${\displaystyle \lim _{x\to a}{\bigl |}f(x){\bigr |}=0}$ .

הוכחה

נוכיח את הכיוון הראשון. מהגדרת הגבול לכל ${\displaystyle \varepsilon >0}$ קיים ${\displaystyle \delta >0}$ כך שלכל ${\displaystyle 0<|x-a|<\delta }$ מתקיים ${\displaystyle {\bigl |}f(x)-0{\bigr |}<\varepsilon }$ .

אבל ${\displaystyle {\Big |}{\bigl |}f(x){\bigr |}-0{\Big |}={\bigl |}f(x){\bigr |}<\varepsilon }$ ולכן ${\displaystyle \lim _{x\to a}{\bigl |}f(x){\bigr |}=0}$ .

נכונות הכיוון השני ברורה כיון שאז נקבל ${\displaystyle {\bigl |}f(x)-0{\bigr |}={\bigl |}f(x){\bigr |}={\Big |}{\bigl |}f(x){\bigr |}-0{\Big |}}$ עם שימוש דומה בהגדרת הגבול.

${\displaystyle \blacksquare }$