משפט

תהי ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ פונקציה מונוטונית עולה וחסומה מלעיל. אזי ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)}$ קיים וערכו ${\displaystyle \sup f(x)}$ .

הערה: הנ"ל נכון גם באופן דומה עבור פונקציה מונוטונית יורדת וחסומה מלרע וגבול במינוס אינסוף. נוכיח רק את המקרה הנ"ל, שכן ההוכחות הן דומות. כמו־כן, התוצאה נכונה גם עבור סדרות וההוכחה זהה.

הוכחה

נכונות הטענה מתבססת על תכונת השלמות של המספרים הממשיים: לכל קבוצה לא־ריקה וחסומה מלעיל קיים חסם עליון.

קבוצת ערכי הפונקציה אינה ריקה והיא חסומה מלעיל, על־פי הנתון. לכן קיים לה חסם עליון ${\displaystyle L=\sup f(x)}$ . כעת נראה כי זהו גבול הפונקציה באינסוף.

מהגדרת החסם העליון לכל ${\displaystyle \varepsilon >0}$ קיים ${\displaystyle x_{0}}$ עבורו ${\displaystyle L-\varepsilon <f(x_{0})<L}$ . כיון שהפונקציה מונוטונית עולה, לכל ${\displaystyle x>x_{0}}$ מתקיים ${\displaystyle f(x)\geq f(x_{0})}$ . אזי,

$${\displaystyle {\begin{matrix}L-\varepsilon <f(x)<L\\\\-\varepsilon <f(x)-L<0<\varepsilon \\\\{\bigl |}f(x)-L{\bigr |}<\varepsilon \\\\\lim \limits _{x\to \infty }f(x)=L=\sup f(x)\end{matrix}}}$$

${\displaystyle \blacksquare }$