משפט

אם ${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L\ ,\ \lim _{x\to a}g(x)=\infty }$ אז ${\displaystyle \lim _{x\to a}{\Big [}f(x)+g(x){\Big ]}=\infty }$ .

הוכחה

יש להראות כי לכל ${\displaystyle M}$ קיים ${\displaystyle \delta >0}$ כך שלכל ${\displaystyle 0<|x-a|<\delta }$ מתקיים ${\displaystyle f(x)+g(x)>M}$ .

${\displaystyle f(x)}$ חסומה וקיים ${\displaystyle \delta _{1}>0}$ כך שלכל ${\displaystyle 0<|x-a|<\delta _{1}}$ מתקיים ${\displaystyle {\bigl |}f(x){\bigr |}<A}$ עבור ${\displaystyle A>0}$ כלשהו, אזי ${\displaystyle f(x)>-A}$ .

לכל ${\displaystyle K}$ קיים ${\displaystyle \delta _{2}>0}$ כך שלכל ${\displaystyle 0<|x-a|<\delta _{2}}$ מתקיים ${\displaystyle g(x)>K}$ .

נבחר ${\displaystyle \delta =\min\{\delta _{1},\delta _{2}\}}$ . לפיכך,

$${\displaystyle f(x)+g(x)\ {\color {red}>}\ -A+K=M}$$

${\displaystyle \blacksquare }$