משפט

אם ${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L\ ,\ \lim _{x\to a}g(x)=\infty }$ אזי ${\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=0}$ .

הוכחה

יהי ${\displaystyle \varepsilon >0}$ . יש להראות כי קיים ${\displaystyle \delta >0}$ כך שלכל ${\displaystyle 0<|x-a|<\delta }$ מתקיים ${\displaystyle \left|{\frac {f(x)}{g(x)}}\right|<\varepsilon }$ .

${\displaystyle f(x)}$ חסומה בסביבת ${\displaystyle a}$ , כלומר קיים ${\displaystyle \delta _{1}>0}$ כך שלכל ${\displaystyle 0<|x-a|<\delta _{1}}$ מתקיים ${\displaystyle {\bigl |}f(x){\bigr |}<M}$ עבור ${\displaystyle M>0}$ כלשהו.

קיים ${\displaystyle \delta _{2}>0}$ כך שלכל ${\displaystyle 0<|x-a|<\delta _{2}}$ הפונקציה ${\displaystyle g(x)}$ חיובית וכן ${\displaystyle g(x)>M\!\cdot \!\varepsilon }$ .

נבחר ${\displaystyle \delta =\min\{\delta _{1},\delta _{2}\}}$ . לפיכך,

$${\displaystyle {\bigl |}g(x){\bigr |}=g(x)>M\!\cdot \!\varepsilon \geq {\bigl |}f(x){\bigr |}\cdot \varepsilon \implies \left|{\frac {f(x)}{g(x)}}\right|<\varepsilon }$$

${\displaystyle \blacksquare }$