משפט

אם ${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=0}$ ומתקיים כי ${\displaystyle g(x)}$ חסומה בסביבה מנוקבת של ${\displaystyle a}$ , אזי ${\displaystyle \lim _{x\to a}{\Big [}f(x)\!\cdot \!g(x){\Big ]}=0}$ .

הוכחה

מתקיים ${\displaystyle {\bigl |}g(x){\bigr |}\leq M}$ או ${\displaystyle -M\leq g(x)\leq M}$ .

נכפיל את אי־השוויון ב־${\displaystyle f(x)}$ (הפונקציה לא בהכרח חיובית בכל נקודה, אך אי־השוויון נכון גם במקרה והיא שלילית) ונקבל:

$${\displaystyle 0\leftarrow -M\cdot \!|f(x)|\leq f(x)\!\cdot \!g(x)\leq M\!\cdot \!|f(x)|\to 0}$$

לכן לפי כלל הסנדוויץ' ${\displaystyle \lim _{x\to a}{\Big [}f(x)\!\cdot \!g(x){\Big ]}=0}$ .

${\displaystyle \blacksquare }$