משפט

${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L\ ,\ \lim _{x\to a}g(x)=\infty }$

• אם ${\displaystyle L>0}$ אז ${\displaystyle \lim _{x\to a}{\Big [}f(x)\cdot g(x){\Big ]}=\infty }$
• אם ${\displaystyle L<0}$ אז ${\displaystyle \lim _{x\to a}{\Big [}f(x)\cdot g(x){\Big ]}=-\infty }$
• אם ${\displaystyle L=\infty }$ אז ${\displaystyle \lim _{x\to a}{\Big [}f(x)\cdot g(x){\Big ]}=\infty }$

הוכחה

• ${\displaystyle L>0}$

מספיק להראות כי לכל ${\displaystyle M>0}$ קיים ${\displaystyle \delta >0}$ כך שלכל ${\displaystyle 0<|x-a|<\delta }$ מתקיים ${\displaystyle f(x)\cdot g(x)>M}$ .

קיים ${\displaystyle \delta _{1}>0}$ כך שלכל ${\displaystyle 0<|x-a|<\delta _{1}}$ מתקיים ${\displaystyle f(x)>0}$ , כלומר ${\displaystyle 0<\varepsilon <f(x)<L+\varepsilon }$ . אזי ${\displaystyle f(x)}$ חיובית ומוגבלת לסביבה מנוקבת של ${\displaystyle a}$ .

לכל ${\displaystyle M>0}$ קיים ${\displaystyle \delta _{2}>0}$ כך שלכל ${\displaystyle 0<|x-a|<\delta _{2}}$ מתקיים ${\displaystyle g(x)>{\frac {M}{\varepsilon }}}$ .

נבחר ${\displaystyle \delta =\min\{\delta _{1},\delta _{2}\}}$ . לפיכך,

$${\displaystyle f(x)\cdot g(x)\ {\color {red}>}\ \varepsilon \cdot {\frac {M}{\varepsilon }}=M}$$

${\displaystyle \blacksquare }$

• ${\displaystyle L<0}$

מספיק להראות כי לכל ${\displaystyle M<0}$ קיים ${\displaystyle \delta >0}$ כך שלכל ${\displaystyle 0<|x-a|<\delta }$ מתקיים ${\displaystyle f(x)\cdot g(x)<M}$ .

קיים ${\displaystyle \delta _{1}>0}$ כך שלכל ${\displaystyle 0<|x-a|<\delta _{1}}$ מתקיים ${\displaystyle f(x)<0}$ , כלומר ${\displaystyle L-\varepsilon <f(x)<-\varepsilon <0}$ . אזי ${\displaystyle f(x)}$ שלילית ומוגבלת לסביבה מנוקבת של ${\displaystyle a}$ .

לכל ${\displaystyle M<0}$ קיים ${\displaystyle \delta _{2}>0}$ כך שלכל ${\displaystyle 0<|x-a|<\delta _{2}}$ מתקיים ${\displaystyle g(x)>-{\frac {M}{\varepsilon }}}$ .

נבחר ${\displaystyle \delta =\min\{\delta _{1},\delta _{2}\}}$ . לפיכך,

$${\displaystyle f(x)\cdot g(x)\ {\color {red}<}\ (-\varepsilon )\cdot \left(-{\frac {M}{\varepsilon }}\right)=M}$$

${\displaystyle \blacksquare }$

• ${\displaystyle L=\infty }$

יש להראות כי לכל ${\displaystyle M}$ קיים ${\displaystyle \delta >0}$ כך שלכל ${\displaystyle 0<|x-a|<\delta }$ מתקיים ${\displaystyle f(x)\cdot g(x)>M}$ .

לכל ${\displaystyle N}$ קיים ${\displaystyle \delta _{1}>0}$ כך שלכל ${\displaystyle 0<|x-a|<\delta _{1}}$ מתקיים ${\displaystyle f(x)>N}$ .

לכל ${\displaystyle M}$ קיים ${\displaystyle \delta _{2}>0}$ כך שלכל ${\displaystyle 0<|x-a|<\delta _{2}}$ מתקיים ${\displaystyle g(x)>{\frac {M}{N}}}$ כאשר ${\displaystyle N\neq 0}$ .

נבחר ${\displaystyle \delta =\min\{\delta _{1},\delta _{2}\}}$ . לפיכך,

$${\displaystyle f(x)\cdot g(x)\ {\color {red}>}\ N\cdot {\frac {M}{N}}=M}$$

${\displaystyle \blacksquare }$