משפט

אם ${\displaystyle f(x)\leq g(x)}$ בסביבה מנוקבת של ${\displaystyle a}$ ואם ${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L,\lim _{x\to a}g(x)=M}$ , אזי ${\displaystyle L\leq M}$ .

הוכחה

נניח בשלילה כי ${\displaystyle L>M}$ .

החוק להפרש גבולות אומר כי ${\displaystyle \lim _{x\to a}{\Big [}g(x)-f(x){\Big ]}=M-L}$ . לכן לכל ${\displaystyle \varepsilon >0}$ קיים ${\displaystyle \delta >0}$ כך שלכל ${\displaystyle 0<|x-a|<\delta }$ מתקיים ${\displaystyle {\Big |}{\bigl [}g(x)-f(x){\bigr ]}-(M-L){\Big |}<\varepsilon }$ .

בפרט עבור ${\displaystyle \varepsilon =L-M}$ קיים ${\displaystyle \delta >0}$ כך שלכל ${\displaystyle 0<|x-a|<\delta }$ מתקיים ${\displaystyle {\Big |}{\bigl [}g(x)-f(x){\bigr ]}-(M-L){\Big |}<L-M}$ .

לכל ${\displaystyle a}$ ממשי מתקיים ${\displaystyle a\leq |a|}$ , לכן לכל ${\displaystyle 0<|x-a|<\delta }$ מתקיים ${\displaystyle {\bigl [}g(x)-f(x){\bigr ]}-(M-L)<L-M}$ . מהעברת אגפים נקבל ${\displaystyle g(x)<f(x)}$ .

אבל הנחתנו היא ${\displaystyle f(x)\leq g(x)}$ בסביבת ${\displaystyle a}$ . סתירה!

לכן ${\displaystyle L\leq M}$ .

${\displaystyle \blacksquare }$