משפט

אם ${\displaystyle f(x)}$ היא פונקציה מונוטונית עולה, אז יש לה גבול (סופי או אינסופי).

הערה: המשפט נכון באופן מקביל עבור פונקציה מונוטונית יורדת, וכן עבור סדרות.

הוכחה

נחלק לשני מקרים:

• ${\displaystyle f(x)}$ חסומה מלעיל. במקרה זה, הפונקציה מתכנסת לגבול סופי כיון שחסימות ומונוטוניות גוררת קיום גבול סופי באינסוף.

• ${\displaystyle f(x)}$ אינה חסומה מלעיל. כלומר, לכל ${\displaystyle M>0}$ קיים ${\displaystyle x_{0}}$ כך ש- ${\displaystyle f(x_{0})>M}$ . הפונקציה מונוטונית עולה ולכן לכל ${\displaystyle x>x_{0}}$ מתקיים ${\displaystyle f(x)\geq f(x_{0})}$ .

כלומר לכל ${\displaystyle M>0}$ קיים ${\displaystyle x_{0}}$ כך שלכל ${\displaystyle x>x_{0}}$ מתקיים ${\displaystyle f(x)>M}$ . זוהי ההגדרה של ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=\infty }$ .

${\displaystyle \blacksquare }$