משפט

אם הפונקציות ${\displaystyle f(x),g(x),h(x)}$ מקיימות את שני התנאים הבאים:

• ${\displaystyle f(x)\leq h(x)\leq g(x)}$ בסביבה מנוקבת של ${\displaystyle a}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=\lim _{x\to a}g(x)=L}$

אזי ${\displaystyle \lim _{x\to a}h(x)=L}$ .

הוכחה

יהי ${\displaystyle \varepsilon >0}$ .

קיים ${\displaystyle \delta _{1}>0}$ כך שלכל ${\displaystyle 0<|x-a|<\delta _{1}}$ מתקיים ${\displaystyle f(x)\leq h(x)\leq g(x)}$ .

קיים ${\displaystyle \delta _{2}>0}$ כך שלכל ${\displaystyle 0<|x-a|<\delta _{2}}$ מתקיים ${\displaystyle L-\varepsilon <f(x)<L+\varepsilon }$ .

קיים ${\displaystyle \delta _{3}>0}$ כך שלכל ${\displaystyle 0<|x-a|<\delta _{3}}$ מתקיים ${\displaystyle L-\varepsilon <g(x)<L+\varepsilon }$ .

נבחר ${\displaystyle \delta =\min\{\delta _{1},\delta _{2},\delta _{3}\}}$ . לפיכך,

$${\displaystyle {\begin{matrix}L-\varepsilon <f(x)\leq h(x)\leq g(x)<L+\varepsilon \\\\L-\varepsilon <h(x)<L+\varepsilon \end{matrix}}}$$

לכן ${\displaystyle \lim _{x\to a}h(x)=L}$ .

${\displaystyle \blacksquare }$