משפט

${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L}$ אם ורק אם ${\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}f(x)=L}$ וגם ${\displaystyle \lim _{x\to a^{-}}f(x)=L}$ .

הוכחה

נוכיח ${\displaystyle \Leftarrow }$ .

מהגדרת הגבול לכל ${\displaystyle \varepsilon >0}$ קיים ${\displaystyle \delta >0}$ כך שלכל ${\displaystyle 0<|x-a|<\delta }$ מתקיים ${\displaystyle {\bigl |}f(x)-L{\bigr |}<\varepsilon }$ .

אם ${\displaystyle x>a}$ אז ${\displaystyle |x-a|=x-a}$ ונקבל כי לכל ${\displaystyle \varepsilon >0}$ קיים ${\displaystyle \delta >0}$ כך שלכל ${\displaystyle 0<x-a<\delta }$ מתקיים ${\displaystyle {\bigl |}f(x)-L{\bigr |}<\varepsilon }$ . לכן ${\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}f(x)=L}$ .

אם ${\displaystyle x<a}$ אז ${\displaystyle |x-a|=a-x}$ ונקבל כי לכל ${\displaystyle \varepsilon >0}$ קיים ${\displaystyle \delta >0}$ כך שלכל ${\displaystyle 0<a-x<\delta }$ מתקיים ${\displaystyle {\bigl |}f(x)-L{\bigr |}<\varepsilon }$ . לכן ${\displaystyle \lim _{x\to a^{-}}f(x)=L}$ .

${\displaystyle \blacksquare }$

נוכיח ${\displaystyle \Rightarrow }$ .

${\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}f(x)=L}$ , לכן לכל ${\displaystyle \varepsilon >0}$ קיים ${\displaystyle \delta _{1}>0}$ כך שלכל ${\displaystyle 0<x-a<\delta _{1}}$ מתקיים ${\displaystyle {\bigl |}f(x)-L{\bigr |}<\varepsilon }$ .

${\displaystyle \lim _{x\to a^{-}}f(x)=L}$ , לכן לכל ${\displaystyle \varepsilon >0}$ קיים ${\displaystyle \delta _{2}>0}$ כך שלכל ${\displaystyle 0<a-x<\delta _{2}}$ מתקיים ${\displaystyle {\bigl |}f(x)-L{\bigr |}<\varepsilon }$ .

נבחר ${\displaystyle \delta =\min\{\delta _{1},\delta _{2}\}}$ .

אם ${\displaystyle x>a}$ אז לכל ${\displaystyle \varepsilon >0}$ קיים ${\displaystyle \delta =\delta _{1}>0}$ כך שלכל ${\displaystyle 0<x-a<\delta }$ מתקיים ${\displaystyle {\bigl |}f(x)-L{\bigr |}<\varepsilon }$ .

אם ${\displaystyle x<a}$ אז לכל ${\displaystyle \varepsilon >0}$ קיים ${\displaystyle \delta =\delta _{2}>0}$ כך שלכל ${\displaystyle 0<a-x<\delta }$ מתקיים ${\displaystyle {\bigl |}f(x)-L{\bigr |}<\varepsilon }$ .

בכך כיסינו את שני המקרים (איננו מתייחסים לנקודה ${\displaystyle a}$ בעניין הגבול) ולכן לכל ${\displaystyle \varepsilon >0}$ קיים ${\displaystyle \delta }$ כך שלכל ${\displaystyle 0<|x-a|<\delta }$ מתקיים ${\displaystyle {\bigl |}f(x)-L{\bigr |}<\varepsilon }$ .

${\displaystyle \blacksquare }$