משפט

אם ${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L\ ,\ \lim _{x\to a}g(x)=\infty }$ אז ${\displaystyle \lim _{x\to a}{\Big [}f(x)-g(x){\Big ]}=-\infty }$ .

הוכחה

יש להראות כי לכל ${\displaystyle M}$ קיימת ${\displaystyle \delta >0}$ כך שלכל ${\displaystyle 0<|x-a|<\delta }$ מתקיים ${\displaystyle f(x)-g(x)<M}$ .

מהגדרת הגבול הראשון לכל ${\displaystyle \varepsilon >0}$ קיים ${\displaystyle \delta _{1}>0}$ כך שלכל ${\displaystyle 0<|x-a|<\delta _{1}}$ מתקיים ${\displaystyle {\bigl |}f(x)-L{\bigr |}<\varepsilon }$ , אזי ${\displaystyle f(x)<L+\varepsilon }$ .

מהגדרת הגבול השני לכל ${\displaystyle M}$ קיים ${\displaystyle \delta _{2}>0}$ כך שלכל ${\displaystyle 0<|x-a|<\delta _{2}}$ מתקיים ${\displaystyle g(x)>L+\varepsilon -M}$ .

נבחר ${\displaystyle \delta =\min\{\delta _{1},\delta _{2}\}}$ . לפיכך,

$${\displaystyle f(x)-g(x)\ {\color {red}<}\ L+\varepsilon -(L+\varepsilon -M)=M}$$

${\displaystyle \blacksquare }$