משפט

אם ${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=0}$ אז ${\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {1}{{\bigl |}f(x){\bigr |}}}=\infty }$ .

הוכחה

מספיק להראות כי לכל ${\displaystyle M>0}$ קיים ${\displaystyle \delta >0}$ כך שלכל ${\displaystyle 0<|x-a|<\delta }$ מתקיים ${\displaystyle {\frac {1}{{\bigl |}f(x){\bigr |}}}>M}$ .

מהגדרת הגבול קיים ${\displaystyle \delta >0}$ כך שלכל ${\displaystyle 0<|x-a|<\delta }$ מתקיים ${\displaystyle {\bigl |}f(x){\bigr |}<{\frac {1}{M}}}$ , כלומר ${\displaystyle {\frac {1}{{\bigl |}f(x){\bigr |}}}>M}$ .

${\displaystyle \blacksquare }$