משפט

אם ${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L\ ,\ \lim _{x\to a}g(x)=M}$ אזי ${\displaystyle \lim _{x\to a}{\Big [}f(x)\pm g(x){\Big ]}=L\pm M}$ .

הוכחה

יהי ${\displaystyle \varepsilon >0}$ . יש להוכיח כי קיים ${\displaystyle \delta >0}$ כך שלכל ${\displaystyle 0<|x-a|<\delta }$ מתקיים ${\displaystyle {\Big |}f(x)\pm g(x)-(L\pm M){\Big |}<\varepsilon }$ .

• קיים ${\displaystyle \delta _{1}>0}$ כך שלכל ${\displaystyle 0<|x-a|<\delta _{1}}$ מתקיים ${\displaystyle {\bigl |}f(x)-L{\bigr |}<{\frac {\varepsilon }{2}}}$ .
• קיים ${\displaystyle \delta _{2}>0}$ כך שלכל ${\displaystyle 0<|x-a|<\delta _{2}}$ מתקיים ${\displaystyle {\bigl |}g(x)-M{\bigr |}<{\frac {\varepsilon }{2}}}$ .

נבחר ${\displaystyle \delta =\min\{\delta _{1},\delta _{2}\}}$ . לפיכך,

$${\displaystyle {\Big |}f(x)\pm g(x)-(L\pm M){\Big |}={\Big |}f(x)-L\pm g(x)\mp M{\Big |}\ {\color {red}\leq }\ {\bigl |}f(x)-L{\bigr |}+{\bigl |}g(x)-M{\bigr |}\ {\color {red}<}\ {\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon }$$

${\displaystyle \blacksquare }$