משפט

אם ${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L,\lim _{x\to a}g(x)=M\neq 0}$ אז ${\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {\lim \limits _{x\to a}f(x)}{\lim \limits _{x\to a}g(x)}}={\frac {L}{M}}}$.

הוכחה

יש להראות כי לכל ${\displaystyle \varepsilon >0}$ קיים ${\displaystyle \delta >0}$ כך שלכל ${\displaystyle 0<|x-a|<\delta }$ מתקיים ${\displaystyle \left|{\frac {f(x)}{g(x)}}-{\frac {L}{M}}\right|<\varepsilon }$.

$${\displaystyle \left|{\frac {f(x)}{g(x)}}-{\frac {L}{M}}\right|=\left|{\frac {f(x)}{g(x)}}-{\frac {L}{g(x)}}+{\frac {L}{g(x)}}-{\frac {L}{M}}\right|\ {\color {red}\leq }\ \left|{\frac {f(x)}{g(x)}}-{\frac {L}{g(x)}}\right|+\left|{\frac {L}{g(x)}}-{\frac {L}{M}}\right|={\frac {|M|\!\cdot \!|f(x)-L|+|L|\!\cdot \!|g(x)-M|}{|M|\!\cdot \!|g(x)|}}}$$

קיימים ${\displaystyle 0<A<B}$ כך שמתקיימים המקרים ${\displaystyle |L|<B}$ וגם ${\displaystyle A<|M|<B}$.

$${\displaystyle \left|{\frac {f(x)}{g(x)}}-{\frac {L}{M}}\right|\ {\color {red}\leq }\ {\frac {|M|\!\cdot \!|f(x)-L|+|L|\!\cdot \!|g(x)-M|}{|M|\!\cdot \!|g(x)|}}\ {\color {red}<}\ {\frac {B}{A}}\cdot {\frac {|f(x)-L|+|g(x)-M|}{|g(x)|}}}$$

• קיים ${\displaystyle \delta _{1}>0}$ כך שלכל ${\displaystyle 0<|x-a|<\delta _{1}}$ מתקיים ${\displaystyle |g(x)|>A}$ או ${\displaystyle {\frac {1}{|g(x)|}}<{\frac {1}{A}}}$.
• קיים ${\displaystyle \delta _{2}>0}$ כך שלכל ${\displaystyle 0<|x-a|<\delta _{2}}$ מתקיים ${\displaystyle {\bigl |}f(x)-L{\bigr |}<{\frac {A^{2}}{2B}}\varepsilon }$.
• קיים ${\displaystyle \delta _{3}>0}$ כך שלכל ${\displaystyle 0<|x-a|<\delta _{3}}$ מתקיים ${\displaystyle {\bigl |}g(x)-M{\bigr |}<{\frac {A^{2}}{2B}}\varepsilon }$.

נבחר ${\displaystyle \delta =\min\{\delta _{1},\delta _{2},\delta _{3}\}}$. לפיכך,

$${\displaystyle \left|{\frac {f(x)}{g(x)}}-{\frac {L}{M}}\right|\ {\color {red}\leq }\ {\frac {|M|\!\cdot \!|f(x)-L|+|L|\!\cdot \!|g(x)-M|}{|M|\!\cdot \!|g(x)|}}\ {\color {red}<}\ {\frac {B}{A}}\cdot {\frac {|f(x)-L|+|g(x)-M|}{|g(x)|}}\ {\color {red}<}\ {\frac {B}{A}}\cdot {\frac {1}{A}}\cdot \left({\frac {A^{2}}{2B}}\varepsilon +{\frac {A^{2}}{2B}}\varepsilon \right)=\varepsilon }$$

${\displaystyle \blacksquare }$