משפט

אם ${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L}$ אזי ${\displaystyle \lim _{x\to a}c\!\cdot \!f(x)=c\!\cdot \!L}$ כאשר ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$ .

הוכחה

יהי ${\displaystyle \varepsilon >0}$ .

אם ${\displaystyle c=0}$ הטענה מיידית: ${\displaystyle {\Big |}0\!\cdot \!f(x)-0\!\cdot \!L{\Big |}=0\ {\color {red}<}\ \varepsilon }$

אם ${\displaystyle c\neq 0}$ נראה שקיים ${\displaystyle \delta >0}$ כך שלכל ${\displaystyle 0<|x-a|<\delta }$ מתקיים ${\displaystyle {\Big |}c\!\cdot \!f(x)-c\!\cdot \!L{\Big |}<\varepsilon }$ .

מהגדרת הגבול קיים ${\displaystyle \delta >0}$ כך שלכל ${\displaystyle 0<|x-a|<\delta }$ מתקיים ${\displaystyle {\bigl |}f(x)-L{\bigr |}<{\frac {\varepsilon }{|c|}}}$ .

$${\displaystyle {\Big |}c\!\cdot \!f(x)-c\!\cdot \!L{\Big |}=|c|\!\cdot \!{\bigl |}f(x)-L{\bigr |}\ {\color {red}<}\ |c|\!\cdot \!{\frac {\varepsilon }{|c|}}=\varepsilon }$$

${\displaystyle \blacksquare }$