משפט

אם ${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L\ ,\ \lim _{x\to a}g(x)=M}$ אזי ${\displaystyle \lim _{x\to a}{\Big [}f(x)\cdot g(x){\Big ]}=L\cdot M}$ .

הוכחה

יהי ${\displaystyle \varepsilon >0}$ . נראה שקיים ${\displaystyle \delta >0}$ כך שלכל ${\displaystyle 0<|x-a|<\delta }$ מתקיים ${\displaystyle {\Big |}f(x)g(x)-L\!\cdot \!M{\Big |}<\varepsilon }$ . $${\displaystyle {\begin{matrix}{{\Big |}f(x)g(x)-L\!\cdot \!M{\Big |}={\Big |}f(x)g(x)-L\!\cdot \!g(x)+L\!\cdot \!g(x)-L\!\cdot \!M{\Big |}={\Big |}g(x){\bigl (}f(x)-L{\bigr )}+L{\bigl (}g(x)-M{\bigr )}{\Big |}}\\{\color {red}\leq }\ {\Big |}g(x){\bigl (}f(x)-L{\bigr )}{\Big |}+{\Big |}L{\bigl (}g(x)-M{\bigr )}{\Big |}={\bigl |}g(x){\bigr |}\!\cdot \!{\bigl |}f(x)-L{\bigr |}+|L|\!\cdot \!{\bigl |}g(x)-M{\bigr |}\end{matrix}}}$$

מהנתונים על הגבולות נסיק כי:

${\displaystyle g(x)}$ חסומה וקיים ${\displaystyle \delta _{1}>0}$ כך שמתקיימים בו זמנית המקרים: ${\displaystyle {\Big |}g(x){\Big |}<A}$ לכל ${\displaystyle 0<|x-a|<\delta _{1}}$ וגם ${\displaystyle |L|<A}$ , עבור ${\displaystyle A>0}$ כלשהו.

קיים ${\displaystyle \delta _{2}>0}$ כך שלכל ${\displaystyle 0<|x-a|<\delta _{2}}$ מתקיים ${\displaystyle {\Big |}f(x)-L{\Big |}<{\frac {\varepsilon }{2A}}}$ .

קיים ${\displaystyle \delta _{3}>0}$ כך שלכל ${\displaystyle 0<|x-a|<\delta _{3}}$ מתקיים ${\displaystyle {\Big |}g(x)-M{\Big |}<{\frac {\varepsilon }{2A}}}$ .

נבחר ${\displaystyle \delta =\min\{\delta _{1},\delta _{2},\delta _{3}\}}$ . לפיכך,

$${\displaystyle {\Big |}f(x)g(x)-L\!\cdot \!M{\Big |}\ {\color {red}\leq }\ {\bigl |}g(x){\bigr |}\!\cdot \!{\bigl |}f(x)-L{\bigr |}+|L|\!\cdot \!{\bigl |}g(x)-M{\bigr |}\ {\color {red}<}\ A\cdot {\frac {\varepsilon }{2A}}+A\cdot {\frac {\varepsilon }{2A}}=\varepsilon }$$

${\displaystyle \blacksquare }$