משפט

אם ${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L}$ אז ${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)^{n}=L^{n}}$ כאשר ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ .

הוכחה

נשתמש בחוק למכפלת גבולות ובאינדוקציה מתמטית. המקרה ${\displaystyle n=1}$ הוא נכון טריויאלית. נניח כי ${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)^{n-1}=L^{n-1}}$ ונוכיח כי ${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)^{n}=L^{n}}$ .

$${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)^{n}=\lim _{x\to a}{\Big [}f(x)^{n-1}\cdot f(x){\Big ]}=\lim _{x\to a}f(x)^{n-1}\cdot \lim _{x\to a}f(x)=L^{n-1}\cdot L=L^{n}}$$

השוויון השני מוצדק בגלל ההנחה ${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)^{n-1}=L^{n-1}}$ ובגלל החוק למכפלת גבולות. ${\displaystyle \blacksquare }$