משפט

אם ${\displaystyle f,g}$ אינטגרביליות בקטע ${\displaystyle [a,b]}$ ואם ${\displaystyle f(x)\leq g(x)}$ לכל ${\displaystyle x}$ בקטע, אזי ${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)dx\leq \int \limits _{a}^{b}g(x)dx}$ .

הוכחה

תהי ${\displaystyle P={x_{0},\ldots ,x_{n}}}$ חלוקה כלשהי של ${\displaystyle [a,b]}$ .

לכל ${\displaystyle x\in \Delta x_{k}=[x_{k-1},x_{k}]}$ מתקיים ${\displaystyle f(x)\leq g(x)}$ , ולכן גם ${\displaystyle \sup f(\Delta x_{k})\leq \sup g(\Delta x_{k})}$ .

או בסימון אחר:

${\displaystyle M_{k}(f)\leq M_{k}(g)}$

כאשר ${\displaystyle M_{k}(f)}$ הוא החסם העליון של ${\displaystyle f}$ בקטע ${\displaystyle \Delta x_{k}}$ , ובהתאם מוגדר ${\displaystyle M_{k}g(x)}$ .

לפיכך גם ${\displaystyle S_{f}(P)\leq S_{g}(P)}$ כאשר ${\displaystyle S_{f}(P)}$ הוא הסכום העליון של ${\displaystyle f}$ לגבי החלוקה הנתונה ובהתאמה גם ל־${\displaystyle g}$ .

אי־השוויון האחרון נכון לכל חלוקה ${\displaystyle P}$ של הקטע ${\displaystyle [a,b]}$ , ולכן מתקיים גם ${\displaystyle \inf {\bigl \{}S_{f}(P):P\in \wp {\bigr \}}\leq \inf {\bigl \{}S_{g}(P):P\in \wp {\bigr \}}}$ .

כלומר ${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)dx\leq \int \limits _{a}^{b}g(x)}$ .

${\displaystyle \blacksquare }$