משפט

תהי ${\displaystyle f}$ פונקציה אינטגרבילית בקטע ${\displaystyle [a,b]}$ . אזי מתקיים ${\displaystyle {\bigg |}\int \limits _{a}^{b}f(x)dx{\bigg |}\leq \int \limits _{a}^{b}{\bigl |}f(x){\bigr |}dx}$ .

הערה: ניתן להוכיח כי אם ${\displaystyle f}$ אינטגרבילית בקטע ${\displaystyle [a,b]}$ , אז גם ${\displaystyle |f|}$ אינטגרבילית שם.

הוכחה

לכל ${\displaystyle x\in [a,b]}$ מתקיים ${\displaystyle -{\bigl |}f(x){\bigr |}\leq f(x)\leq {\bigl |}f(x){\bigr |}}$

ומתכונת המונוטוניות של האינטגרל נסיק

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \limits _{a}^{b}-{\bigl |}f(x){\bigr |}dx\leq \int \limits _{a}^{b}f(x)dx\leq \int \limits _{a}^{b}{\bigl |}f(x){\bigr |}dx\\-\int \limits _{a}^{b}{\bigl |}f(x){\bigr |}dx\leq \int \limits _{a}^{b}f(x)dx\leq \int \limits _{a}^{b}{\bigl |}f(x){\bigr |}dx\end{aligned}}}$

ולכן ${\displaystyle {\bigg |}\int \limits _{a}^{b}f(x)dx{\bigg |}\leq \int \limits _{a}^{b}{\bigl |}f(x){\bigr |}dx}$ .

${\displaystyle \blacksquare }$