משפט

אם ${\displaystyle f}$ אינטגרבילית בקטע ${\displaystyle [a,b]}$ ואם ${\displaystyle c\in (a,b)}$ אז ${\displaystyle f}$ אינטגרבילית בקטעים ${\displaystyle [a,b],[a,c]}$ ומתקיים ${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)dx=\int \limits _{a}^{c}f(x)dx+\int \limits _{c}^{b}f(x)dx}$ .

הוכחה

הפונקציה אינטגרבילית בקטע ${\displaystyle [a,b]}$ ולכן היא אינטגרבילית בכל קטע חלקי.

כלומר קיימים שלושת האינטגרלים ${\displaystyle \int \limits _{a}^{b},\int \limits _{a}^{c},\int \limits _{b}^{c}}$

יהי ${\displaystyle \varepsilon >0}$ .

לקטע ${\displaystyle [a,c]}$ קיימת חלוקה ${\displaystyle P_{1}}$ עבורה ${\displaystyle S(P_{1})-s(P_{1})<{\frac {\varepsilon }{2}}}$ , וברור שמתקיים ${\displaystyle s(P_{1})\leq \int \limits _{a}^{c}f(x)dx\leq S(P_{1})}$ .

קיימת גם חלוקה ${\displaystyle P_{2}}$ של הקטע ${\displaystyle [c,b]}$ עבורה ${\displaystyle S(P_{2})-s(P_{2})<{\frac {\varepsilon }{2}}}$ , וברור גם כי ${\displaystyle s(P_{2})\leq \int \limits _{c}^{b}f(x)dx\leq S(P_{2})}$ .

תהי ${\displaystyle P=P_{1}\cup P_{2}}$ שהיא חלוקה של הקטע ${\displaystyle [a,b]}$ כולו. עבורה מתקיים

${\displaystyle {\begin{aligned}S(P)&=S(P_{1})+S(P_{2})\\s(P)&=s(P_{1})+s(P_{2})\end{aligned}}}$

ונקבל כי

$${\displaystyle s(P)=s(P_{1})+s(P_{2})\ {\color {red}\leq }\ \int \limits _{a}^{c}f(x)dx+\int \limits _{c}^{b}f(x)dx\ {\color {red}\leq }\ S(P_{1})+S(P_{2})=S(P)}$$

ולכן ${\displaystyle s(P)\leq \int \limits _{a}^{c}f(x)dx+\int \limits _{c}^{b}f(x)dx\leq S(P)}$

ונקבל כי ${\displaystyle S(P)-s(P)<\varepsilon }$ .

ברור כי ${\displaystyle s(P)\leq \int \limits _{a}^{b}f(x)dx\leq S(P)}$ , ולכן נובע כי הן הסכום ${\displaystyle \int \limits _{a}^{c}f(x)dx+\int \limits _{c}^{b}f(x)dx}$ והן הסכום ${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)dx}$ נמצאים בקטע ${\displaystyle {\Big [}s(P),S(P){\Big ]}}$ ולכן המרחק ביניהם קטן מאורך הקטע, שהוא קטן מ־${\displaystyle \varepsilon }$ .

$${\displaystyle \left|\int \limits _{a}^{c}f(x)dx+\int \limits _{c}^{b}f(x)dx-\int \limits _{a}^{b}f(x)dx\right|<\varepsilon }$$

לפיכך ${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)dx=\int \limits _{a}^{c}f(x)dx+\int \limits _{c}^{b}f(x)dx}$ .

${\displaystyle \blacksquare }$