משפט

תהי ${\displaystyle f(x)}$ פונקציה רציפה בקטע ${\displaystyle [a,b]}$ ותהי ${\displaystyle F(x)}$ מוגדרת ${\displaystyle F(x)=\int \limits _{a}^{x}f(u)du}$ .

אזי ${\displaystyle F(x)}$ גזירה בקטע ${\displaystyle (a,b)}$ ומתקיים ${\displaystyle F'(x)=f(x)}$ לכל ${\displaystyle x\in (a,b)}$ .

הוכחה

נבחר נקודה כללית ${\displaystyle x_{0}\in [a,b]}$ . נתון כי ${\displaystyle F(x_{0})=\int \limits _{a}^{x_{0}}f(u)du}$ וכמו כן, $${\displaystyle {\begin{aligned}F(x_{0}+h)&=\int \limits _{a}^{x_{0}+h}f(u)du=\int \limits _{a}^{x_{0}}f(u)du+\int \limits _{x_{0}}^{x_{0}+h}f(u)du\\F(x_{0}+h)-F(x_{0})&=\left(\int \limits _{a}^{x_{0}}f(u)du+\int \limits _{x_{0}}^{x_{0}+h}f(u)du\right)-\int \limits _{a}^{x_{0}}f(u)du=\int \limits _{x_{0}}^{x_{0}+h}f(u)du\\&\lim _{h\to 0}{\dfrac {F(x_{0}+h)-F(x_{0})}{h}}=\lim _{h\to 0}{\dfrac {1}{h}}\cdot \int \limits _{x_{0}}^{x_{0}+h}f(u)du\end{aligned}}}$$

לפי משפט ערך הביניים האינטגרלי, לפונקציה ${\displaystyle f(x)}$ קיימת נקודה ${\displaystyle x_{h}\in (x_{0},x_{0}+h)}$ המקיימת ${\displaystyle \int \limits _{x_{0}}^{x_{0}+h}f(u)du=f(x_{h})\cdot h}$ .

לכן

$${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {1}{h}}\cdot \int \limits _{x_{0}}^{x_{0}+h}f(u)du=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x_{h})\cdot h}{h}}=\lim _{h\to 0}f(x_{h})}$$

כיון ש־${\displaystyle x_{h}\in (x_{0},x_{0}+h)}$ אז מתקיים לפי כלל הסנדוויץ' ${\displaystyle \lim _{h\to 0}x_{h}=x_{0}}$ , וכיון ש־${\displaystyle f(x)}$ רציפה מתקבל: ${\displaystyle \lim _{h\to 0}f(x_{h})=\lim _{x_{h}\to x_{0}}f(x_{h})=f(x_{0})}$ .

לכן ${\displaystyle F'(x_{0})=f(x_{0})}$ . כיון ש־${\displaystyle x_{0}\in [a,b]}$ היא נקודה כללית בקטע אז הטענה נכונה לכל ${\displaystyle x\in (a,b)}$ .

${\displaystyle \blacksquare }$