משפט: תהי ${\displaystyle A}$ קבוצה. אז קיים יחס סדר טוב על ${\displaystyle A}$.

תהא ${\displaystyle A}$ קבוצה. נסמן ב-${\displaystyle C={\mathcal {P}}(A)-\{\emptyset \}}$ את קבוצת החזקה של A, ללא הקבוצה הריקה. לפי אקסיומת הבחירה, קיימת פונקציה ${\displaystyle f:C\to A}$ המתאימה לכל ${\displaystyle B\in C}$ איבר ${\displaystyle b\in B}$. נגדיר באינדוקציה טרנספיניטית פונקציה הפועלת על מספרים סודרים:

${\displaystyle g(\alpha )=f\left(A-\bigcup _{\beta <\alpha }\{g(\beta )\}\right)}$

נשים לב כי ייתכן ש-${\displaystyle g(\alpha )}$ אינה מוגדרת בשני מקרים: מקרה ראשון, אם ${\displaystyle A=\cup _{\beta <\alpha }\{g(\beta )\}}$, אז ${\displaystyle g(\alpha )=f(\emptyset )}$ שאינו מוגדר. ומקרה שני אם קיים ${\displaystyle \beta <\alpha }$ כך ש-${\displaystyle g(\beta )}$ אינו מוגדר.

על אותם סודרים ש-${\displaystyle g}$ מוגדרת עליהם, ${\displaystyle g}$ פונקציה חד-חד-ערכית: אם ${\displaystyle \alpha _{1}<\alpha _{2}}$ אז ${\displaystyle g(\alpha _{1})\not \in A-\cup _{\beta <\alpha _{2}}\{g(\beta )\}}$ ולכן פונקציית הבחירה ${\displaystyle f}$ לא יכולה לבחור את ${\displaystyle g(\alpha _{1})}$ כערך ל-${\displaystyle g(\alpha _{2})}$.

לא ייתכן ש-${\displaystyle g}$ מוגדרת לכל סודר, כי אז ${\displaystyle g^{-1}}$ (הקיימת לפי החד-חד-ערכיות) היא פונקציה מהקבוצה ${\displaystyle A}$ למחלקת כל הסודרים, לכן (לפי אקסיומת ההחלפה) מחלקת כל הסודרים היא קבוצה, בסתירה לפרדוקס בורלי-פורטי. מכאן שיש סודרים ש-${\displaystyle g}$ אינה מוגדרת לגביהם. הסודרים סדורים היטב ולכן יש סודר מינימלי ${\displaystyle \gamma }$ כך ש-${\displaystyle g(\gamma )}$ אינו מוגדר. מכיוון שלא קיים סודר קטן מ-${\displaystyle \gamma }$ שהפונקציה אינה מוגדרת עליו, בהכרח הסיבה ש-${\displaystyle g(\gamma )}$ אינו מוגדר היא ש-${\displaystyle A=\cup _{\beta <\gamma }\{g(\beta )\}}$.

לכן ${\displaystyle g:\gamma \to A}$ התאמה חד-חד-ערכית ועל בין ${\displaystyle \gamma }$ ל-${\displaystyle A}$.

נגדיר סדר טוב על ${\displaystyle A}$ בדרך הבאה: ${\displaystyle x<y\Leftrightarrow g^{-1}(x)<g^{-1}(y)}$. נראה כי זהו אכן סדר טוב:

1. א-רפלקסיביות: ${\displaystyle g^{-1}(x)\not <g^{-1}(x)}$, לכן ${\displaystyle x\not <x}$.
2. טרנזיטיביות: ${\displaystyle x<y\land y<z\Rightarrow g^{-1}(x)<g^{-1}(y)\land g^{-1}(y)<g^{-1}(z)\Rightarrow g^{-1}(x)<g^{-1}(z)\Rightarrow x<z}$.
3. השוואה: יהו ${\displaystyle x,y\in A}$. אז ${\displaystyle g^{-1}(x)<g^{-1}(y)\lor g^{-1}(y)<g^{-1}(x)\Rightarrow x<y\lor y<x}$.
4. תהי ${\displaystyle \emptyset \neq S\subseteq A}$. אז מהחד-חד-ערכיות של ${\displaystyle g^{-1}}$ נקבל ${\displaystyle \emptyset \neq g^{-1}(S)\subseteq \gamma }$. לכן יש איבר ראשון ${\displaystyle \zeta }$ ב${\displaystyle g^{-1}(S)}$. נסמן ${\displaystyle s=g(\zeta )}$. אז לכל ${\displaystyle x\in S}$ מתקיים ${\displaystyle g^{-1}(x)\in g^{-1}(S)\Rightarrow g^{-1}(s)=\zeta \leq g^{-1}(x)\Rightarrow s\leq x}$.