אם ${\displaystyle X\neq \phi }$ והפונקצייה ${\displaystyle \varphi \colon P(X)\to P(X)}$ הינה שומרת הכלה (מונוטונית עולה), כלומר ${\displaystyle \forall A,B\in P(X)\colon A\subseteq B\Rightarrow \varphi (A)\subseteq \varphi (B)}$,
אזי ${\displaystyle \exists Y\in P(X)\colon Y=\varphi (Y)}$.

כלומר, לכל פונקצייה שומרת הכלה יש נקודת שבת.

נגדיר קבוצה ${\displaystyle \mathbf {M} =\{A\in P(X)|A\subseteq \varphi (A)\}}$. מתקיים ${\displaystyle \phi \in \mathbf {M} }$ ומכאן ${\displaystyle \mathbf {M} \neq \phi }$.
נסמן ${\displaystyle Y=\bigcup \mathbf {M} =\bigcup _{A\in \mathbf {M} }A}$. מובן כי ${\displaystyle Y\in P(X)}$ לפי ההגדרה.

מהגדרת ${\displaystyle Y}$, לכל ${\displaystyle A\in \mathbf {M} }$ מתקיים ${\displaystyle A\subseteq Y}$ ומכך ש-${\displaystyle \varphi }$ שומרת הכלה נקבל ${\displaystyle \varphi (A)\subseteq \varphi (Y)}$. ומכאן גם מתקבל ${\displaystyle \bigcup _{A\in \mathbf {M} }\varphi (A)\subseteq \varphi (Y)}$.
מהגדרת ${\displaystyle \mathbf {M} }$, לכל ${\displaystyle A\in \mathbf {M} }$ מתקיים ${\displaystyle A\subseteq \varphi (A)}$, ולכן גם ${\displaystyle Y=\bigcup _{A\in \mathbf {M} }A\subseteq \bigcup _{A\in \mathbf {M} }\varphi (A)}$.
משילוב שתי התוצאות הללו נקבל ${\displaystyle Y\subseteq \varphi (Y)}$.

שוב, ${\displaystyle \varphi }$ שומרת הכלה ולכן ${\displaystyle \varphi (Y)\subseteq \varphi (\varphi (Y))}$, ולכן לפי הגדרת ${\displaystyle \mathbf {M} }$ נקבל כי ${\displaystyle \varphi (Y)\in \mathbf {M} }$.
מכאן נסיק כי ${\displaystyle \varphi (Y)\subseteq \bigcup \mathbf {M} =Y}$.

הראנו הכלה בשני הכיוונים, כלומר ${\displaystyle Y=\varphi (Y)}$, כנדרש.