אם ${\displaystyle w\neq 0}$ מספר אלגברי אזי ${\displaystyle {\text{e}}^{w}}$ מספר טרנסצנדנטי (אי־אלגברי).

יהי ${\displaystyle w\neq 0}$ מספר אלגברי.
נניח בשלילה כי ${\displaystyle {\text{e}}^{w}}$ אלגברי. אזי קיים ${\displaystyle 0\neq a\in {\overline {\mathbb {Q} }}}$ עבורו ${\displaystyle {\text{e}}^{w}=a}$.
נסמן:

${\displaystyle {\begin{aligned}&a_{1}\!=-a,\ a_{2}\!=1\\[3pt]&z_{1}\!=0,\ z_{2}\!=w\\[3pt]&{\text{e}}^{w}-a\!=a_{1}{\text{e}}^{z_{1}}\!+a_{2}{\text{e}}^{z_{2}}\!=0\end{aligned}}}$

יהי ${\displaystyle f(z)}$ פולינום ממעלה ${\displaystyle d}$. נגדיר ${\displaystyle F(z)=\sum _{j\,=\,0}^{d}f^{\mathtt {(j)}}\!(z)}$. נגזור ונקבל כי:

${\displaystyle F'\!(z)=\sum _{j\,=\,0}^{d}f^{\mathtt {(j+1)}}\!(z)=\sum _{j\,=\,1}^{d}f^{\mathtt {(j)}}\!(z)=F(z)-f(z)}$

נגדיר ${\displaystyle G(z)={\text{e}}^{-z}F(z)}$. נגזור ונקבל כי:

${\displaystyle G'\!(z)={\text{e}}^{-z}F'\!(z)-{\text{e}}^{-z}F(z)={\text{e}}^{-z}{\bigl [}F'\!(z)-F(z){\bigr ]}=-{\text{e}}^{-z}f(z)}$

על־פי המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי, מתקיים כי:

${\displaystyle {\begin{aligned}G(z)-G(0)={\text{e}}^{-z}F(z)-{\text{e}}^{-0}(0)&=-\!\int \limits _{0}^{z}{\text{e}}^{-u}f(u)du\\F(z)-{\text{e}}^{z}F(0)&=-\!\int \limits _{0}^{z}{\text{e}}^{z-u}f(u)du\end{aligned}}}$

נסמן:

${\displaystyle {\begin{aligned}F(z_{i})-{\text{e}}^{z_{i}}F(0)=A(z_{i})\\[5pt]a_{i}F(z_{i})-a_{i}{\text{e}}^{z_{i}}F(0)=a_{i}A(z_{i})\end{aligned}}}$

נסכום ונקבל כי:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i\,=\,1}^{2}a_{i}F(z_{i})-\sum _{i\,=\,1}^{2}a_{i}{\text{e}}^{z_{i}}F(0)=\sum _{i\,=\,1}^{2}a_{i}A(z_{i})\\[2pt]\sum _{i\,=\,1}^{2}a_{i}F(z_{i})-F(0)\sum _{i\,=\,1}^{2}a_{i}{\text{e}}^{z_{i}}=\sum _{i\,=\,1}^{2}a_{i}A(z_{i})\\[2pt]\sum _{i\,=\,1}^{2}a_{i}F(z_{i})=\sum _{i\,=\,1}^{2}a_{i}A(z_{i})\end{aligned}}}$

למה: יהי ${\displaystyle f(z)}$ פולינום בעל שורש ${\displaystyle z_{0}}$ מריבוי ${\displaystyle d\geq 1}$. אזי ${\displaystyle f^{\mathtt {(j)}}\!(z_{0})=0}$ לכל ${\displaystyle 0\leq j\leq d-1}$.

הוכחה: באינדוקציה שלמה.

נרשום ${\displaystyle f(z)=(z-z_{0})^{d}Q(z)}$, כאשר ${\displaystyle Q(z)}$ פולינום עבורו ${\displaystyle Q(z_{0})\neq 0}$.

עבור ${\displaystyle d=1}$ מתקיים:

${\displaystyle f^{\mathtt {(0)}}\!(z_{0})=f(z_{0})=0}$

נניח כי לכל ${\displaystyle 1\leq d\leq k}$ הטענה מתקיימת לכל ${\displaystyle 0\leq j\leq d-1}$.
נוכיח כי עבור ${\displaystyle d=k+1}$ הטענה מתקיימת לכל ${\displaystyle 0\leq j\leq k}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}f(z)&=(z-z_{0})^{k+1}Q(z)\\[5pt]f^{\mathtt {(1)}}\!(z)&=(k+1)(z-z_{0})^{k}Q(z)+(z-z_{0})^{k+1}Q^{\mathtt {(1)}}\!(z)\\[5pt]&={\color {blue}(z-z_{0})^{k}}{\color {red}{\bigl [}(k+1)Q(z)+(z-z_{0})Q^{\mathtt {(1)}}\!(z){\bigr ]}}\\[5pt]&={\color {blue}(z-z_{0})^{k}}{\color {red}R(z)}\end{aligned}}}$

הביטוי הכחול מריבוי ${\displaystyle k\geq 1}$, כאשר ${\displaystyle R(z)}$ פולינום עבורו ${\displaystyle R(z_{0})\neq 0}$.
לכן מכפלתם מקיימת את הנחת האינדוקציה.

${\displaystyle \square }$

עתה נגדיר פולינומים

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{_{k}}\!(z)&={\frac {b^{^{2p}}}{(p-1)!}}\,{\frac {{\bigl [}(z-z_{1})(z-z_{2}){\bigr ]}^{p}}{z-z_{k}}},\quad (1\leq k\leq 2)\end{aligned}}}$

כאשר ${\displaystyle p}$ מספר ראשוני, וכן ${\displaystyle 0\neq b\in \mathbb {Z} }$ עבורו ${\displaystyle bz_{1},bz_{2}}$ שלמים אלגבריים.
כנ"ל, נגדיר

${\displaystyle {\begin{aligned}&F_{_{k}}\!(z)=\sum _{j\,=\,0}^{d}f_{_{k}}^{\mathtt {(j)}}\!(z)\\[2pt]&F_{_{k}}\!(z_{i})-{\text{e}}^{z_{i}}F_{_{k}}\!(0)=A_{_{k}}\!(z_{i})\\[2pt]&\sum _{i\,=\,1}^{2}a_{i}F_{_{k}}\!(z_{i})=\sum _{i\,=\,1}^{2}a_{i}A_{_{k}}\!(z_{i})\end{aligned}}}$

לפי חלקים א ו־ב, מתקיים כי:

${\displaystyle {\begin{aligned}N_{_{k}}\!&=\sum _{i\,=\,1}^{2}a_{i}F_{_{k}}\!(z_{i})=\sum _{i\,=\,1}^{2}\sum _{j\,=\,0}^{2p-1}a_{i}f_{_{k}}^{\mathtt {(j)}}\!(z_{i})\\[2pt]&=\sum _{i\,=\,1}^{2}\sum _{j\,=\,p-1}^{2p-1}\!\!a_{i}f_{_{k}}^{\mathtt {(j)}}\!(z_{i})=\!\!\sum _{j\,=\,p-1}^{2p-1}\sum _{i\,=\,1}^{2}a_{i}f_{_{k}}^{\mathtt {(j)}}\!(z_{i})\\[2pt]&=a_{1}f_{_{k}}^{\mathtt {(p-1)}}\!(z_{1})+a_{2}f_{_{k}}^{\mathtt {(p-1)}}\!(z_{2})+\sum _{j\,=\,p}^{2p-1}\sum _{i\,=\,1}^{2}a_{i}f_{_{k}}^{\mathtt {(j)}}\!(z_{i})\end{aligned}}}$