אם ${\displaystyle T'=<L',{\mathfrak {A'}}>}$ היא תורה עקבית, אזי קיימת קבוצת אקסיומות ${\displaystyle {\mathfrak {A''}}}$ כך ש-${\displaystyle {\mathfrak {A'}}\subseteq {\mathfrak {A''}}}$ ו-${\displaystyle T''=<L',{\mathfrak {A''}}>}$ תורה שלמה.

נגדיר ${\displaystyle E}$ כקבוצת כל הנוסחאות הסגורות בשפה ${\displaystyle L'}$.
נגדיר ${\displaystyle {\mathcal {J}}=\{D\subseteq E|{\mathfrak {A'}}\cup D{\text{ is consistent}}\}}$.
${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ לא ריקה, כי ${\displaystyle {\mathfrak {A'}}}$ עקבית ולכן ${\displaystyle \emptyset \in {\mathcal {J}}}$.
${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ היא מטיפוס סופי. זאת מפני שהיסקים הם סופיים, כלומר מסתמכים על קבוצה סופית של אקסיומות, ולכן מקבוצה ניתן להסיק סתירה אם ורק אם מכל תת-קבוצה סופית שלה ניתן להסיק סתירה.

מלמת טייכמילר-טיוקי, שמופיעה מטה, קיים איבר מקסימלי ${\displaystyle M\in {\mathcal {J}}}$.
נגדיר ${\displaystyle {\mathfrak {A''}}={\mathfrak {A'}}\cup M}$.
${\displaystyle T''}$ עקבית מתוך הגדרת ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$, נוכיח כי היא גם שלמה.

תהי נוסחה סגורה ${\displaystyle A}$. נראה כי ${\displaystyle \vdash _{\mathfrak {A''}}A}$ או ${\displaystyle \vdash _{\mathfrak {A''}}\neg A}$.
אם ${\displaystyle \vdash _{\mathfrak {A''}}A}$ סיימנו, כעת נניח כי ${\displaystyle \nvdash _{\mathfrak {A''}}A}$.
נניח בשלילה ${\displaystyle \neg A\notin M}$, אזי ${\displaystyle {\mathfrak {A''}}\cup \{\neg A\}}$ אינה עקבית מתוך מקסימליות ${\displaystyle M}$, כלומר, ניתן להסיק בה סתירה: ${\displaystyle \vdash _{{\mathfrak {A''}}\cup \{\neg A\}}B\land \neg B}$.
לפי משפט הדדוקציה: ${\displaystyle \vdash _{\mathfrak {A''}}\neg A\rightarrow B\land \neg B}$, אך זוהי גרירה טאוטולוגית של ${\displaystyle \vdash _{\mathfrak {A''}}A}$ בסתירה להנחה.
כלומר ${\displaystyle \neg A\in M}$, וממילא ${\displaystyle \vdash _{\mathfrak {A''}}\neg A}$ כנדרש.

נניח ש-${\displaystyle E}$ קבוצה, ו-${\displaystyle {\mathcal {J}}\subseteq P(E)}$ אוסף תת-קבוצות של ${\displaystyle E}$.
${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ תיקרא מטיפוס סופי אם מתקיים ${\displaystyle D\in {\mathcal {J}}}$ אם ורק אם כל תת-קבוצה סופית ${\displaystyle D_{0}\subseteq D}$ מקיימת ${\displaystyle D_{0}\in {\mathcal {J}}}$.

אם ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ לא ריקה מטיפוס סופי, אזי יש ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ איבר מקסימלי.
כלומר, קיים ${\displaystyle M\in {\mathcal {J}}}$, כך שאם ${\displaystyle M\subseteq N\in {\mathcal {J}}}$ אז ${\displaystyle M=N}$.
הערה: כדי להוכיח למה זו אנו זקוקים לאקסיומת הבחירה.