משפט: יהו ${\displaystyle f,g}$ פונקציות גזירות בקטע ${\displaystyle [a,b]}$, כך ש${\displaystyle f(x)g'(x)}$ אינטגרבילית בקטע. אז ${\displaystyle f'(x)g(x)}$ אינטגרבילית בקטע, ומתקיים ${\displaystyle \int _{a}^{b}f'(x)g(x)dx=f(x)g(x)|_{a}^{b}-\int _{a}^{b}f(x)g'(x)dx}$, כאשר ${\displaystyle h(x)|_{a}^{b}=h(b)-h(a)}$.

מכלל המכפלה לנגזרות נקבל ${\displaystyle (f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)}$, כלומר ${\displaystyle f'(x)g(x)=(f(x)g(x))'-f(x)g'(x)}$. לפונקציה ${\displaystyle (f(x)g(x))'}$ יש פונקציה קדומה ${\displaystyle f(x)g(x)}$, לכן היא אינטגרבילית, ומתקיים ${\displaystyle \int _{a}^{b}(f(x)g(x))'dx=f(x)g(x)|_{a}^{b}}$. כמו כן מהנתון ${\displaystyle f(x)g'(x)}$ אינטגרבילית, ומילינאריות האינטגרל נקבל ${\displaystyle \int _{a}^{b}((f(x)g(x))'-f(x)g'(x))dx=f(x)g(x)|_{a}^{b}-\int _{a}^{b}f(x)g'(x)dx}$. אלא שמתקיים ${\displaystyle f'(x)g(x)=(f(x)g(x))'-f(x)g'(x)}$, לכן ${\displaystyle \int _{a}^{b}f'(x)g(x)dx=f(x)g(x)|_{a}^{b}-\int _{a}^{b}f(x)g'(x)dx}$.