אי שיוויון צ'בישב (נקרא גם: צ'בישף וגם: צ'ביצ'ב) נותן חסם להסתברות לקבל ערכים רחוקים מן התוחלת. במילים אחרות: מאפשר להעריך את התפלגות התוחלת. על פי אי-שיוויון צ'בישב, כאשר השונות קטנה, ההסתברות לסטיות גדולות מן הממוצע גם היא קטנה.

משפט: אי שוויון צ'בישב יהי X מ"מ בעל תוחלת ${\displaystyle \ \mu _{X}}$ ושונות ${\displaystyle \ \sigma _{X}^{2}}$, אז לכל a,b חיוביים מתקיים: ${\displaystyle \ \mathbb {P} (|X-\mu _{X}|>a\sigma )<{1 \over a^{2}}}$, או לחלופין: ${\displaystyle \ \mathbb {P} (|X-\mu _{X}|>b)<{\sigma _{X}^{2} \over b^{2}}}$ כאשר b=aσ.

שימו לב כי עבור ערכי b קטנים החסם של צ'בישב גדול מאחד. לכן החסם יעיל כאשר מדובר ב-b-ים גדולים. כמו-כן, במידה ופונקצית הצפיפות סימטרית סביב התוחלת, ומעוניינים רק בצד אחד של התוחלת, ניתן לשפר את החסם פי 2.

אדם יוצא לעבודה כל יום בשעה 7:30. הזמן הממוצע שלוקח לו להגיע הוא 30 דקות (כלומר ${\displaystyle \mu _{x}=30}$), וסטיית התקן היא 5 דקות (${\displaystyle \sigma _{x}=5}$). ביום מסוים מגיע לקוח למקום העבודה ב-8:30. נראה כי הסיכוי שהלקוח יגיע לפני האדם קטנה מ-3%:

אם סטיית התקן הינה 5 דקות, אזי השונות היא 25 דקות², מההגדרה כי ${\displaystyle Var\left(X\right)=\sigma _{x}^{2}}$.

אנו מחפשים את ${\displaystyle P(X>60)}$, נבצע מעבר מתמטי ונקבל: ${\displaystyle P\left(X>60\right)=P\left(\left(X-30\right)>30\right)\leq P\left(\left|X-30\right|\geq 30\right)\leq {\frac {25}{30^{3}}}<{\frac {3}{100}}=3\%}$

מש"ל

הפרק הקודם: אי שוויון מרקוב

אי שוויון צ'בישב

הפרק הבא: אי שוויון ינסן