משפט: תוחלת של פונקציה של וקטור

יהי ${\displaystyle \ {\vec {X}}=(X_{1},...,X_{n})}$ וקטור אקראי בעל פונקצית הצפיפות ${\displaystyle \ f_{\vec {X}}(x_{1},...,x_{n})}$, ותהי h טרנספורמציה ${\displaystyle \ h:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$. אז התוחלת של ${\displaystyle \ Y=h(X_{1},...,X_{n})}$ היא: ${\displaystyle \ \mathbb {E} Y=\int \limits _{-\infty }^{\infty }...\int \limits _{-\infty }^{\infty }h(X_{1},...,X_{n})f_{\vec {X}}(x_{1},...,x_{n})dx_{1}...dx_{n}}$.
במקרה הדיסקרטי: אם Y מקבל את הערכים הבדידים ${\displaystyle \ {\vec {X}}_{i}}$ בהסתברות p_i, אז התוחלת של Y היא: ${\displaystyle \ \mathbb {E} Y=\sum h({\vec {X}}_{i})p_{i}}$.

משפט: פונקציה של וקטור אקראי

אם ${\displaystyle \ h:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ חח"ע וגזירה ו- ${\displaystyle \ \left|{\partial x_{1},...,x_{n} \over \partial h_{1},...,h_{n}}\right|\neq 0}$ לכל ${\displaystyle \ {\vec {X}}\in \mathbb {R} ^{n}}$, אז הצפיפות של Y היא:

${\displaystyle \ f_{\vec {Y}}(y_{1},...,y_{n})=\left|{\partial x_{1},...,x_{n} \over \partial h_{1},...,h_{n}}\right|f_{\vec {X}}(h^{-1}(y_{1},...,y_{n}))}$