הגדרה: משתנה מקרי רציף

משתנה מקרי רציף הוא משתנה מקרי אשר מקבל ערכים מקטע רציף (סופי או אינסופי) על ציר המספרים.

דוגמה:

נניח שנצביע באופן מקרי על נקודה בסרגל שאורכו 1 מטר, כלומר מספר כלשהו בין 0 ל-1:

1. מה הסיכוי שבחרנו בנקודה 0.6?
2. מה הסיכוי שבחרנו בנקודה 0.61?
3. מה הסיכוי שבחרנו בנקודה 0.616?
4. מה הסיכוי שבחרנו בנקודה 0.6169?
5. מה הסיכוי שבחרנו בנקודה 0.61692?
6. מה הסיכוי שבחרנו בנקודה 0.616924?
7. ...

אם נחשוב על כך מעט, הסיכוי שבחרנו בנקודה, אם נגדיר אותה בדיוק מספיק גבוה, הוא קטן ללא הגבלה.

שימו לב:

דוגמה:

נניח שנצביע באופן מקרי על נקודה בסרגל שאורכו 1 מטר, כלומר מספר כלשהו בין 0 ל-1. הסיכוי שבחרנו במספר לכל היותר 0.616924, הוא 0.616924.

הגדרה: פונקציית הצטברות, התפלגות

אם ${\displaystyle X}$ הוא מ"מ רציף, אז פונקציית ההצטברות שלו היא ${\displaystyle F_{X}(x)=\mathbb {P} (X\leq x)}$, כלומר הסיכוי שלו לקבל ערך לכל היותר ${\displaystyle x}$.

נאמר גם כי המ"מ ${\displaystyle X}$ מתפלג לפי פונקציית ההצטברות.

משפט: קשר בין התפלגות להסתברות

${\displaystyle \mathbb {P} (a\leq X\leq b)=F_{X}(b)-F_{X}(a)}$

משפט: גבולות התפלגות

${\displaystyle \ \lim \limits _{x\to -\infty }F_{X}(x)=0\ ,\ \lim \limits _{x\to \infty }F_{X}(x)=1}$

משפט: מונוטוניות פונקציית ההתפלגות

אם ${\displaystyle a<b}$ אז ${\displaystyle \ F_{X}(a)\leq F_{X}(b)}$

הגדרה: פונקציית צפיפות

הצפיפות של מ"מ כלשהו מוגדר ע"י ההתפלגות בצורה עקיפה ע"י

${\displaystyle F_{X}(x)=\int _{-\infty }^{x}f_{X}(y)dy}$

ולכן, בחלקים הרציפים,

${\displaystyle f_{X}(x)=F'_{X}(x)}$.

משפט:

${\displaystyle \ \mathbb {P} (a<X<b)=\int \limits _{a}^{b}f_{X}(x)dx}$

התפלגויות רציפות

1. התפלגות יוניפורמית
2. התפלגות אקספוננציאלית
3. התפלגות נורמלית