• משתנים מקריים/משתנים מקריים בדידים
  • התפלגות יוניפורמית
  • התפלגות ברנולי
  • התפלגות בינומית
  • התפלגות גאומטרית
  • התפלגות בינומית שלילית
  • התפלגות פואסון

אינטואיטיבית, ההתפלגות מתארת את הסיכוי להצליח בפעם הראשונה בניסוי ה-${\displaystyle k}$ של ניסויי ברנולי (בלתי תלויים), כשלכ"א מהם הצלחה בסיכוי ${\displaystyle p}$, וכשלון בסיכוי ${\displaystyle q=1-p}$.

הגדרה: התפלגות גאומטרית נניח מ"מ ${\displaystyle X}$ אשר מקבל ערך ${\displaystyle k}$ בהסתברות ${\displaystyle \mathbb {P} _{X}(k)=pq^{k-1}}$. אז ל-${\displaystyle X}$ התפלגות גאומטרית. נרשום ${\displaystyle X\sim Geo(n,p)}$.

ראינו את החישוב בהסיכוי להצלחה ראשונה בניסוי כלשהו.

גאומטרי: ${\displaystyle \ X\sim Geom(p)}$

פונקצית התפלגות -
פונקצית צפיפות -
פרמטרים	${\displaystyle \ 0<p\leq 1}$
תומך	${\displaystyle \ k\in {0,1,...\infty }}$
פונקצית התפלגות	${\displaystyle \ 1-q^{k}}$
פונקצית צפיפות	${\displaystyle \ \mathbb {P} _{X}(k)=pq^{k-1}}$
תוחלת	${\displaystyle \ 1 \over p}$
חציון	${\displaystyle \ 1 \over p}$
שונות	${\displaystyle \ q \over p^{2}}$
פונקציה יוצרת מומנטים	${\displaystyle \ {\frac {pe^{s}}{1-(1-p)e^{s}}}}$
פונקציה אופיינית	${\displaystyle \ {\frac {1-q}{1-qe^{is}}}}$

המשתנה המקרי הגאומטרי הוא המ"מ הבדיד היחיד עם תכונת חוסר הזכרון: אם ההצלחה הראשונה לא ארעה בניסוי בניסוי ה-${\displaystyle n}$, אז הסיכוי שהיא תתרחש בפעם הראשונה ${\displaystyle k}$ ניסויים לאחר מכן, כלומר בפעם הראשונה ב-${\displaystyle n+k}$, הוא הסיכוי שההצלחה הראשונה תתרחש בפעם ה-${\displaystyle k}$.

הוכחה: נגדיר את ${\displaystyle X}$ כמספר הפעם הראשונה שבה יש הצלחה. לפי הגדרת הסתברות מותנית,

${\displaystyle \ \mathbb {P} (X=n+k|X>n)={\mathbb {P} (X=n+k\cap X>n) \over \mathbb {P} (X>n)}}$

אבל המאורע ${\displaystyle X=n+k}$ נכלל במאורע ${\displaystyle X>n}$ ולכן נקבל

${\displaystyle \mathbb {P} (X=n+k|X>n)={\mathbb {P} (X=n+k) \over \mathbb {P} (X>n)}={q^{n+k-1}p \over q^{n}}=q^{k-1}p=\mathbb {P} (x=k)}$

-

התפלגות גאומטרית

-