הגדרה: משתנה מקרי בדיד

משתנה מקרי בדיד הוא משתנה מקרי אשר מקבל ערכים מקבוצה סופית או בת מניה. אם המשתנה הוא, לדוגמה, ${\displaystyle X}$, אז קיימת קבוצה ${\displaystyle A}$ שעבורה

${\displaystyle \sum _{x\in A}\mathbb {P} (X=x)=1}$

הגדרה: פונקציית הסתברות

אם ${\displaystyle X}$ הוא מ"מ בדיד, ו-${\displaystyle A}$ היא קבוצת הערכים שאותם הוא יכול לקבל, אז פונקציית ההסתברות של ${\displaystyle X}$ היא פשוט ${\displaystyle \mathbb {P} (X=x)}$ לכל ${\displaystyle x\in A}$.

במקומות רבים פונקציית ההסתברות של משתנה X מסומנת ${\displaystyle P_{X}(x)\equiv \mathbb {P} (X=x)}$. לעיתים, כאשר ברור מהו המשתנה האקראי, משמשים בקיצור ${\displaystyle P(x)}$, אך אנו נמנע משימוש רב-משמעי זה.

הגדרה: פונקציית הצטברות, התפלגות

אם ${\displaystyle X}$ הוא מ"מ בדיד, אז פונקציית ההצטברות שלו היא ${\displaystyle F_{X}(x)=\mathbb {P} (X\leq x)}$, כלומר הסיכוי שלו לקבל ערך לכל היותר ${\displaystyle x}$.

נאמר גם כי המ"מ ${\displaystyle X}$ מתפלג לפי פונקציית ההצטברות.

דוגמה:

• מודל לגלאי אלקטרונים: אם מספר האלקטרונים X הנפלטים מקתודה בשעה הוא מ"מ פואסוני עם פרמטר λ=3, וההסתברות של אלקטרונים אלו להגיע לגלאי היא p=0.75, מהי ההסתברות שמבין האלקטרונים שנפלטו בשעה, לפחות אחד יגיע לגלאי?

פתרון: כפי שראינו בדוגמה בהתפלגות פואסון, ${\displaystyle \ X\sim Pois(3)}$, ולכן ${\displaystyle \ \mathbb {P} (X=n)=e^{-3}{3^{n} \over n!}}$. נגדיר את מספר הפגיעות בלוח בתור H. שימו לב כי H מייצג את מספר ההצלחות מתוך n נסויי ברנולי, ולכן ${\displaystyle \ H\sim Bin(n,p)}$. לשם הנוחות נסמן q=0.25. נחשב בשלבים:

${\displaystyle \ \mathbb {P} (H\geq 1|X=n)=1-\mathbb {P} (H=0|X=n)=1-\left.{n \choose k}p^{k}q^{n-k}\right|_{k=0}=1-q^{n}}$

כעת, בעזרת נוסחת ההסתברות השלמה נחשב את ההסתברות המבוקשת:

${\displaystyle \ \mathbb {P} (H\geq 1)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }\mathbb {P} (H\geq 1|X=n)\mathbb {P} (X=n)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }(1-q^{n})e^{-3}{3^{n} \over n!}=}$

${\displaystyle \ =\sum \limits _{n=0}^{\infty }e^{-3}{3^{n} \over n!}-e^{-3}\sum \limits _{n=0}^{\infty }{(3q)^{n} \over n!}=1-e^{-3}e^{3q}=1-e^{-2.25}\approx 0.89}$