הסתברות מותנית היא ההסתברות של מאורע כלשהו בהנחה שמאורע אחר ארע.

הגדרה: הסתברות מותנית יהיו ${\displaystyle A,B}$ שני מאורעות, כאשר ${\displaystyle \mathbb {P} (B)\neq 0}$. ההסתברות המותנית של ${\displaystyle A}$ בהנתן ${\displaystyle B}$ היא ${\displaystyle \mathbb {P} (A|B)\equiv {\frac {\mathbb {P} (A\cap B)}{\mathbb {P} (B)}}}$

כפי שאפשר לשים לב, ההסתברות המותנית אינה מוגדרת במקרה ${\displaystyle \mathbb {P} (B)=0}$. אא"כ יצוין אחרת, נניח במובלע כי זה אינו המצב.

נניח כי בתל־אביב גרים 100 בנים ו־20 בנות, ואילו בחיפה גרים 40 בנים ו־50 בנות. נניח כי בוחרים אדם כלשהו באקראי.

• מה ההסתברות כי בחרנו בבת?
  • ישנן 70 בנות מתוך 210 אנשים סה"כ מהם אנו בוחרים אחד, לכן ההסתברות לבחור בת הוא ${\displaystyle {\tfrac {70}{210}}}$, כלומר שליש.
• מה ההסתברות כי בחרנו בבת, אם ידוע כי האדם הנבחר גר בתל־אביב?
  • כאן ההסתברות מותנית, ונחשב לפי ההגדרות לעיל. המאורע A הוא בחירת בת והמאורע B הוא שנבחר תושב תל־אביב. קל לראות כי ${\displaystyle P(A)={\tfrac {1}{3}}}$ וכן ${\displaystyle P(B)={\tfrac {120}{210}}={\tfrac {4}{7}}}$. ההסתברות ${\displaystyle P(A\cap B)}$ היא ההסתברות להיות בת וגם בתל־אביב – ישנן 20 כאלה (מתוך אוכלוסיה של 210 סה"כ), ולכן ${\displaystyle P(A\cap B)={\tfrac {2}{21}}}$. כעת נציב בנוסחא לעיל, ונקבל כי ההסתברות לבחור בת בהנתן שהאדם שבחרנו הוא מתל־אביב היא:

$${\displaystyle P(A|B)={\frac {\tfrac {2}{21}}{\tfrac {4}{7}}}={\tfrac {1}{6}}}$$

המשפט הבא מראה כי כל שלוש התכונות המאפיינות הסתברות, אותן ראינו במודל ההסתברותי, מאפיינות גם הסתברות מותנית.

משפט: הסתברות מותנית היא הסתברות נניח כי ${\displaystyle B}$ הוא מאורע כלשהו. אז ההסתברות המותנית של מרחב המדגם שווה 1, או ${\displaystyle \mathbb {P} (\Omega |B)=1}$. לכל מאורע הסתברות מותנית אי־שלילית ${\displaystyle \forall {A\subseteq \Omega }\quad 0\leq \mathbb {P} (A|B)\leq 1}$. אדיטיביות: עבור כל שני מאורעות זרים, הסתברות איחודם היא סכום הסתברויותיהן ${\displaystyle \forall {A_{1},A_{2}\subseteq \Omega }\ {\text{ s.t. }}\ A_{1}\cap A_{2}=\varnothing \quad \implies \quad \mathbb {P} (A_{1}\cup A_{2}|B)=\mathbb {P} (A_{1}|B)+\mathbb {P} (A_{2}|B)}$

בתרגיל:הסתברות מותנית היא הסתברות תתבקש להוכיח זאת.

מאותה סיבה, גם שאר התכונות של הסתברות מתקיימות לגבי הסתברות מותנית, כפי שאפשר לראות לדוגמה במשפט הבא.

משפט: הסתברות מותנית של משלים ${\displaystyle \mathbb {P} (A^{c}|B)=1-\mathbb {P} (A|B)}$

בתרגיל:הסתברות מותנית של משלים תתבקש להוכיח זאת.

התניה במאורע בלתי־תלוי אינה משנה את ההסתברות:

משפט: אם ${\displaystyle A,B}$ מאורעות בלתי־תלויים, אז ${\displaystyle \mathbb {P} (A|B)=\mathbb {P} (A)}$ ${\displaystyle \mathbb {P} (A|B^{c})=\mathbb {P} (A)}$

הוכחה: ${\displaystyle \mathbb {P} (A|B)={\frac {\mathbb {P} (A\cap B)}{\mathbb {P} (B)}}={\frac {\mathbb {P} (A)\cdot \mathbb {P} (B)}{\mathbb {P} (B)}}=\mathbb {P} (A)}$

במודל ההסתברותי ראינו שבמקרה מרחב המדגם הסימטרי, הסתברות היא פרופורציה. נראה שהתכונה מתקיימת גם עבור הסתברות מותנית.

נתבונן בתרשים בצד שמאל. לפי ההגדרה, ההסתברות המותנית הנה ${\displaystyle \mathbb {P} (A|B)={\frac {\mathbb {P} (A\cap B)}{\mathbb {P} (B)}}={\dfrac {\dfrac {|A\cap B|}{|\Omega |}}{\dfrac {|B|}{|\Omega |}}}={\frac {|A\cap B|}{|B|}}}$.

כלומר, בהנחה ש־${\displaystyle B}$ ארע, אז מדובר בפרופורציה של השטח שמשותף גם ל־${\displaystyle A}$, כלומר הפרופורציה של ${\displaystyle A}$ בהנחה שיש לבחור מתוך ${\displaystyle B}$.

הפרק הקודם: אי תלות בין מאורעות

הסתברות מותנית תרגילים

הפרק הבא: נוסחת ההסתברות השלמה