הגדרה: אי-תלות בין מאורעות

המאורעות ${\displaystyle A,B}$ בלתי-תלויים אם ${\displaystyle \mathbb {P} (A\cap B)=\mathbb {P} (A)\cdot \mathbb {P} (B)}$ .

במקרה הכללי, המאורעות ${\displaystyle A_{1},\dots ,A_{n}}$ בלתי-תלויים אם לכל תת-קבוצת אינדקסים ${\displaystyle i_{1},\ldots ,i_{m}\in \{1,\dots ,n\}}$ שכולם שונים, מתקיים ${\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcap _{i=i_{1},\dots ,i_{m}}A_{i}\right)=\prod _{i=i_{1},\dots ,i_{m}}\mathbb {P} (A_{i})}$ .

שימו לב:

• מאורעות זרים מקיימים: ${\displaystyle \mathbb {P} (A\cap B)=\mathbb {P} (\varnothing )=0}$ .
• מאורעות בלתי-תלויים מקיימים: ${\displaystyle \mathbb {P} (A\cap B)=\mathbb {P} (A)\cdot \mathbb {P} (B)}$ .

דוגמה:

נניח שאנו זורקים שני מטבעות הוגנים. נגדיר את המאורע ${\displaystyle A}$ כ"עץ" במטבע הראשון, ו- ${\displaystyle B}$ כמאורע "עץ" בשני. אז מתקיים ${\displaystyle \Omega =\{(T,T),(T,H),(H,T),(H,H)\}}$ כאשר H מסמל "עץ" ו-T מסמל "פאלי". קל לראות ש- ${\displaystyle A=\{(H,H),(H,T)\}}$ ו- ${\displaystyle B=\{(T,H),(H,H)\}}$ . מכאן שמתקיים, ${\displaystyle \mathbb {P} (A\cap B)={\frac {1}{4}}=\mathbb {P} (A)\cdot \mathbb {P} (B)={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{2}}}$ , ולכן המאורעות בלתי-תלויים.

באופן כללי, אם יש לנו ${\displaystyle n}$ מטבעות הוגנים, ובוחרים ${\displaystyle m}$ אינדקסים שונים מתוך 1 עד ${\displaystyle n}$ אז המאורעות "עץ" במטבעות האינדקסים הנבחרים הם מאורעות בלתי-תלויים.

משפט:

אם ${\displaystyle A,B}$ בלתי-תלויים, אז גם ${\displaystyle \{A^{c},B^{c}\}\ ;\ \{A^{c},B\}\ ;\ \{A,B^{c}\}}$ בלתי-תלויים.

הגדרה: אי-תלות בזוגות

${\displaystyle A_{1}\cdots A_{n}}$ בלתי-תלויים בזוגות אם לכל ${\displaystyle i\neq j}$ מתקיים: ${\displaystyle \mathbb {P} (A_{i}\cap A_{j})=\mathbb {P} (A_{i})\cdot \mathbb {P} (A_{j})}$ .

דוגמה:

נניח שמגרילים שלושה מספרים:

1. את המספר הראשון קובעים בעזרת הטלת מטבע הוגן. אם התוצאה "עץ", הערך הוא 0, ואחרת הוא 1.
2. את המספר השני קובעים באותו אופן ע"י מטבע הוגן אחר.
3. המספר השלישי הוא פעולת ה-xor על שני המספרים הראשונים.

קל לראות ששלושת המאורעות של קבלת 0 אינם בלתי-תלויים, אך קבלת 0 בכל שניים משלושת המספרים אכן בלתי-תלויים.