משפט: אי שיוויון ינסן

נניח:

• קיים קטע ${\displaystyle I}$ כך ש${\displaystyle \ \mathbb {P} (X\notin I)=0}$.
• שתי התוחלות ${\displaystyle \ \mathbb {E} h(X)}$ו ${\displaystyle h(\mathbb {E} X)}$ קיימות.

אז:

• אם ${\displaystyle h}$ קמורה ב${\displaystyle I}$, אז ${\displaystyle \ \mathbb {E} h(X)\geq h(\mathbb {E} X)}$. אם ${\displaystyle h}$ קמורה ממש, אז אי השוויון חד.
• אם ${\displaystyle h}$ קעורה ב${\displaystyle I}$, אז ${\displaystyle \ \mathbb {E} h(X)\leq h(\mathbb {E} X)}$. אם ${\displaystyle h}$ קעורה ממש, אז אי השוויון חד.