• משתנים מקריים/משתנים מקריים בדידים
  • התפלגות יוניפורמית
  • התפלגות ברנולי
  • התפלגות בינומית
  • התפלגות גאומטרית
  • התפלגות בינומית שלילית
  • התפלגות פואסון

אינטואיטיבית, התפלגות זאת היא קירוב של התפלגות בינומית, המופיעה לעתים קרובות בטבע.

הגדרה: התפלגות פואסון נניח מ"מ ${\displaystyle X}$ אשר מקבל ערך ${\displaystyle k}$ בהסתברות ${\displaystyle \mathbb {P} _{X}(k)={\lambda ^{k}e^{-\lambda } \over k!}}$. אז ל-${\displaystyle X}$ פואסון. נרשום ${\displaystyle X\sim Pois(\lambda )}$.

פואסוני: ${\displaystyle \ X\sim Pois(\lambda )}$

פונקצית התפלגות
פונקצית צפיפות
פרמטרים	${\displaystyle \ \lambda \in (0,\infty )}$
תומך	${\displaystyle \ k\in \{0,1,2,...\}}$
פונקצית התפלגות	${\displaystyle {\frac {\Gamma (k+1,\lambda )}{k!}}\!}$
פונקצית צפיפות	${\displaystyle \ \mathbb {P} _{X}(x)={\lambda ^{k} \over k!}e^{-\lambda }}$
תוחלת	${\displaystyle \ \lambda }$
חציון
שונות	${\displaystyle \ \lambda }$
פונקציה יוצרת מומנטים	${\displaystyle \ e^{\lambda (e^{s}-1)}}$
פונקציה אופיינית	${\displaystyle \ e^{\lambda (e^{is}-1)}}$

בהתפלגות בינומית, ראינו כי בניסויי ברנולי, הסיכוי להצלחת ${\displaystyle k}$ ניסויים מתוך ${\displaystyle n}$, כאשר הסיכוי להצלחה יחידה הוא ${\displaystyle p}$, הנו

${\displaystyle \ \mathbb {P} (x=k)={n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}}$

בעטי הפונקציה הקומבינטורית ${\displaystyle {n \choose k}}$, מדובר בפונקציה לא נוחה לשימוש.

במציאות, ישנם מצבים רבים בהם ${\displaystyle n}$ ו-${\displaystyle p}$ במידה שמכפלתם, ${\displaystyle np}$, היא בינונית בגודלה. במקרים אלה, נראה שאפשר לשערך את הביטוי

${\displaystyle {n \choose k}p^{k}q^{n-k}\simeq {\left({pn}\right)^{k}e^{-pn} \over k!}}$

בתרשים התחתון משמאל לדוגמה, הנקודות השחורות מתארות התפלגות פואסון עם ${\displaystyle n=1000,\lambda =5}$.

הקו האדום מתאר התפלגות בינומית עם ${\displaystyle n=10,p=0.005}$,

הקו הכחול מתאר התפלגות בינומית עם ${\displaystyle n=20,p=0.005}$,

והקו הירוק מתאר התפלגות בינומית עם ${\displaystyle n=1000,p=0.005}$,

משפט: קירוב פואסון עבור ${\displaystyle \lambda }$ קבועה, אם ${\displaystyle X_{n}\sim {\textrm {B}}(n,\lambda /n);\qquad Y\sim {\textrm {Pois}}(\lambda ).\,}$ אז עבוכ כל ${\displaystyle k}$ קבוע, ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }P(X_{n}=k)=P(Y=k)}$.

הוכחה: ראשית, מחדו"א, אנו יודעים כי ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1-{\lambda \over n}\right)^{n}=e^{-\lambda },}$ אז, היות שכאן ${\displaystyle p=\lambda /n}$ במקרה זה, נקבל

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{n\to \infty }P(X_{n}=k)&=\lim _{n\to \infty }{n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}\\&=\lim _{n\to \infty }{n! \over (n-k)!k!}\left({\lambda \over n}\right)^{k}\left(1-{\lambda \over n}\right)^{n-k}\\&=\lim _{n\to \infty }\underbrace {\left[{\frac {n!}{n^{k}\left(n-k\right)!}}\right]} _{A_{n}}\left({\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\right)\underbrace {\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{n}} _{\to \exp \left(-\lambda \right)}\underbrace {\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{-k}} _{\to 1}\\&=\left[\lim _{n\to \infty }A_{n}\right]\left({\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\right)\exp \left(-\lambda \right)\end{aligned}}}$

כעת נשים לב כי

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{n}&={\frac {n!}{n^{k}\left(n-k\right)!}}\\&={\frac {n\cdot (n-1)\cdots {\big (}n-(k-1){\big )}}{n^{k}}}\\&=1\cdot (1-{\tfrac {1}{n}})\cdots (1-{\tfrac {k-1}{n}})\\&\to 1\cdot 1\cdots 1=1,\end{aligned}}}$

כאשר לוקחים את הגבול של כל אחד מ-${\displaystyle k}$ האיברים בנפרד (מותר לעשות כך, מפני שמספרם סופי).

מכאן קיבלנו ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }P(X_{n}=k)={\frac {\lambda ^{k}\exp \left(-\lambda \right)}{k!}}=P(Y=k)}$.

• מספר האלקטרונים הנפלטים בפרק זמן כלשהו מקתודה, מהווה בקירוב טוב מ"מ פואסוני. נגדיר את X כמספר האלקטרונים הנפלטים במשך שעה בעל התפלגות פואסונית עם פרמטר λ=3.

• מהי ההסתברות שבמשך שעה נפלט אלקטרון אחד בלבד? נשתמש בהגדרת פונקצית ההסתברות הפואסונית:

${\displaystyle \ \mathbb {P} (X=k)=e^{-3}{3^{k} \over k!}\ \Rightarrow \ \mathbb {P} (X=1)=3e^{-3}\approx 0.15}$

• מהי ההסתברות שבמשך שעה נפלט לפחות אלקטרון אחד? נשתמש בשיטת המשלים:

${\displaystyle \ \mathbb {P} (X\geq 1)=1-\mathbb {P} (X<1)=1-\mathbb {P} (X=0)=1-e^{-3}={e^{3}-1 \over e^{3}}\approx 0.95}$

• מהי ההסתברות שבמשך שעה נפלטו לכל היותר 2 אלקטרונים? זהו סכום של מאורעות זרים:

${\displaystyle \ \mathbb {P} (X\leq 2)=\sum \limits _{k=0}^{2}\mathbb {P} (X=k)=e^{-3}\left({3^{0} \over 0!}+{3^{1} \over 1!}+{3^{2} \over 2!}\right)={17 \over 2e^{3}}\approx 0.42}$

-

התפלגות פואסון

-