הגדרה 1: שלמים

יהי שדה סדור. קבוצת המספרים השלמים של השדה ${\displaystyle \mathbb {Z} =\mathbb {N} \cup {0_{\mathbb {F} }}\cup \{-n|n\in \mathbb {N} \}}$

• השלמים אינם שדה מאחר שאין מספר הופכי.

טענה 1: ${\displaystyle \mathbb {Z} *\mathbb {Z} =\mathbb {Z} }$:${\displaystyle \mathbb {Z} +\mathbb {Z} =\mathbb {Z} }$:${\displaystyle \forall n,m\in \mathbb {Z} _{\mathbb {F} }\ n+m\in \mathbb {Z} _{\mathbb {F} }}$

טענה 2: ${\displaystyle \forall n,m\in \mathbb {Z} _{\mathbb {F} }\ nm\in \mathbb {Z} _{\mathbb {F} }}$

טענה 3: ${\displaystyle \forall n,m\in \mathbb {Z} _{\mathbb {F} }\ m>n\Rightarrow m-n}$

טענה 4: ${\displaystyle \forall x\in \mathbb {F} \ \forall n,m\in \mathbb {Z} \ \ x^{m+n}=x^{m}*x^{n}}$

טענה 5: ${\displaystyle \forall x\in \mathbb {F} \ \forall n,m\in \mathbb {Z} \ \ (x^{m})^{n}=x^{mn}}$

טענה 6: ${\displaystyle \forall 0\neq y,x\in \mathbb {F} ,\ n,m\in \mathbb {N} ({\frac {x}{y}})^{n}={\frac {x^{n}}{y^{n}}}}$

הגדרה 2: חלוקה

יהי ${\displaystyle m,n\in \mathbb {Z} }$. נאמר ש-${\displaystyle m}$ מחלק את ${\displaystyle n}$ אם קיים ${\displaystyle l\in \mathbb {Z} }$ כך ש-${\displaystyle n=ml}$