משפט: ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k={\frac {n(n+1)}{2}}}$

הוכחה:

בדיקה: ${\displaystyle \sum _{k=1}^{1}k={\frac {1(1+1)}{2}}}$

מכיוון ראשון, ${\displaystyle \sum _{k=1}^{1}k=1}$.

מכיוון שני, ${\displaystyle {\frac {1(1+1)}{2}}=1}$.

על כן הטענה נכונה עבור ${\displaystyle n=1}$.

נניח כי הטענה נכונה עבור ${\displaystyle n}$ : ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k={\frac {n(n+1)}{2}}}$

נוכיח נכונות עבור ${\displaystyle n+1}$: ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n+1}k={\frac {(n+1)(n+2)}{2}}}$

מכיוון ראשון אנו יודעים כי סכום האיברים עד האיבר ה-${\displaystyle n+1}$ שווה לסכום האיברים עד האיבר ה-${\displaystyle n}$ ועוד האיבר האחרון: ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n+1}k=\sum _{k=1}^{n}k+(n+1)}$

על פי הנחה: ${\displaystyle \underbrace {\sum _{k=1}^{n}k} _{\frac {n(n+1)}{2}}+(n+1)={\frac {(n+1)(n+2)}{2}}}$

${\displaystyle {\frac {n(n+1)}{2}}+n+1={\frac {(n+1)(n+2)}{2}}}$

${\displaystyle n(n+1)+2n+2=(n+1)(n+2)}$

${\displaystyle n^{2}+n+2n+2=n^{2}+2n+n+2}$