דף זה עוד בכתיבה. ביכולתכם להוסיף לדף זה!

תהי ${\displaystyle f}$ פונקציה מונוטונית ורציפה בקטע ${\displaystyle I}$ , ותהי ${\displaystyle x_{0}}$ נקודה פנימית בקטע זה. נסמן ${\displaystyle y_{0}=f(x_{0})}$ .

אם ${\displaystyle f}$ גזירה ב- ${\displaystyle x_{0}}$ , ואם ${\displaystyle f'(x_{0})\neq 0}$ , אז הפונקציה ההופכית של ${\displaystyle f}$ , שנסמנה ${\displaystyle g}$ , גזירה ב- ${\displaystyle y_{0}}$ ונגזרתה היא: ${\displaystyle g'(y_{0})={\frac {1}{f'(x_{0})}}}$

הוכחה:

על פי הגדרת הפונקציה ההופכית מתקיים ${\displaystyle g(y)=x\Rightarrow g(f(x))=x}$.

כעת נגזור את שני האגפים ונקבל:

${\displaystyle g'(y)\cdot f'(x)=1\Rightarrow g'(y)={\frac {1}{f'(x)}}}$

דוגמאות

• הנגזרת של הפונקציה ${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}$ היא ${\displaystyle f'(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}}$ (הגדרנו את הפונקציה כפונקציה הופכית של הפונקציה ${\displaystyle y^{2}}$)
• הנגזרת של הפונקציה ${\displaystyle f(x)=2x+1}$ היא ${\displaystyle f'(x)={\frac {1}{\frac {1}{2}}}=2}$ (הגדרנו את הפונקציה כפונקציה הופכית של הפונקציה ${\displaystyle {\frac {y-1}{2}}}$)