משפט

תהי ${\displaystyle g}$ פונקציה גזירה ב־${\displaystyle a}$ ותהי ${\displaystyle f}$ פונקציה גזירה ב־${\displaystyle g(a)}$ .

אזי ${\displaystyle {\frac {df}{dx}}{\bigl (}g(a){\bigr )}=f'{\bigl (}g(a){\bigr )}\cdot g'(a)}$ .

הוכחה

עלינו לחשב את ${\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {f{\bigl (}g(x){\bigr )}-f{\bigl (}g(a){\bigr )}}{x-a}}}$ .

נכפיל מונה ומכנה בביטוי ${\displaystyle g(x)-g(a)}$ ונקבל:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\to a}{\frac {f{\bigl (}g(x){\bigr )}-f{\bigl (}g(a){\bigr )}}{x-a}}&=\lim _{x\to a}{\frac {f{\bigl (}g(x){\bigr )}-f{\bigl (}g(a){\bigr )}}{x-a}}\cdot \lim _{x\to a}{\frac {g(x)-g(a)}{g(x)-g(a)}}\\&=\lim _{x\to a}{\frac {f{\bigl (}g(x){\bigr )}-f{\bigl (}g(a){\bigr )}}{x-a}}\cdot {\frac {g(x)-g(a)}{g(x)-g(a)}}\\&=\lim _{x\to a}{\dfrac {f{\bigl (}g(x){\bigr )}-f{\bigl (}g(a){\bigr )}}{g(x)-g(a)}}\cdot {\frac {g(x)-g(a)}{x-a}}\\&=\lim _{x\to a}{\frac {f{\bigl (}g(x){\bigr )}-f{\bigl (}g(a){\bigr )}}{g(x)-g(a)}}\cdot \lim _{x\to a}{\frac {g(x)-g(a)}{x-a}}=f'{\bigl (}g(a){\bigr )}\cdot g'(a)\end{aligned}}}$$

קלי קלות, האמנם?

התשובה שלילית.

ההוכחה היתה עובדת לו הנחנו כי יש סביבה ${\displaystyle \delta >0}$ כך שלכל ${\displaystyle 0<|x-a|<\delta }$ מתקיים ${\displaystyle g(x)\neq g(a)}$ .

כיון שלא עשינו כך, יתכן וקיימת נקודה ${\displaystyle x=c}$ בסביבת ${\displaystyle a}$ כך שמתקיים ${\displaystyle g(c)=g(a)}$ , ועל כן אנו לפעמים מקבלים ${\displaystyle {\tfrac {0}{0}}}$ – פעולה לא־חוקית.

לדוגמא: הפונקציה ${\displaystyle f(x)={\begin{cases}x^{2}\sin \left({\frac {1}{x}}\right)&x\neq 0\\0&x=0\end{cases}}}$ , אף שהיא גזירה בנקודה 0, בכל סביבה ${\displaystyle \delta >0}$ יש נקודה ${\displaystyle c}$ בה ${\displaystyle f(0)=f(c)=0}$ .

כדי לטפל במקרה הכללי נגדיר פונקציית עזר:

$${\displaystyle {\begin{aligned}F{\bigl (}g(x){\bigr )}={\begin{cases}{\dfrac {f{\bigl (}g(x){\bigr )}-f{\bigl (}g(a){\bigr )}}{g(x)-g(a)}}&:g(x)\neq g(a)\\\\\lim \limits _{x\to a}{\dfrac {f{\bigl (}g(x){\bigr )}-f{\bigl (}g(a){\bigr )}}{g(x)-g(a)}}&:g(x)=g(a)\end{cases}}\\F{\bigl (}g(x){\bigr )}\cdot {\frac {g(x)-g(a)}{x-a}}={\frac {f{\bigl (}g(x){\bigr )}-f{\bigl (}g(a){\bigr )}}{x-a}}\end{aligned}}}$$

ניתן לראות זאת על ידי פירוק לשני מקרים – כאשר ${\displaystyle g(x)=g(a)}$ שני צדדי המשוואה מתאפסים, וכאשר ${\displaystyle g(x)\neq g(a)}$ המכנה בהגדרת ${\displaystyle F}$ מצטמצם עם המונה בשבר הימני.

כיון ש־${\displaystyle F}$ גזירה ב־${\displaystyle g(a)}$ אז היא רציפה שם, ומתוך אריתמטיקה של גבולות נקבל את התוצאה הרצויה.

${\displaystyle \blacksquare }$