הנגזרת של סכום או הפרש שתי פונקציות היא סכום או הפרש הנגזרות של שניהם

${\displaystyle {{\Big [}f(x)\pm g(x){\Big ]}'=\lim _{h\to 0}\left[{\frac {f(x+h)\pm g(x+h)-f(x)\mp g(x)}{h}}\right]=\lim _{h\to 0}\left[{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\pm {\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\right]}}$${\displaystyle =\lim _{h\to 0}\left[{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\right]\pm \lim _{h\to 0}\left[{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\right]=f'(x)\pm g'(x)}$

הנגזרת של מכפלת שתי פונקציות שווה לסכום של מכפלת כל אחת בנגזרת של השנייה

${\displaystyle {\Big [}f(x)g(x){\Big ]}'=\lim _{h\to 0}\left[{\frac {f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}}\right]=\lim _{h\to 0}\left[{\frac {f(x+h)g(x+h)-f(x+h)g(x)+f(x+h)g(x)-f(x)g(x)}{h}}\right]=}$

${\displaystyle =\lim _{h\to 0}\left[f(x+h)\cdot {\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\right]+\lim _{h\to 0}\left[g(x)\cdot {\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\right]=f(x)g'(x)+f'(x)g(x)}$

הנגזרת של מנה שווה להפרש של מכפלת כל פונקציה בנגזרת של חברתה, לחלק לפונקציה שבמכנה בחזקת שתיים

${\displaystyle \left[{\frac {f(x)}{g(x)}}\right]'=\left[f(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}\right]'=-{\frac {f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}}+{\frac {f'(x)}{g(x)}}={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}}}$

(על פי נגזרת של פונקציה רציונלית ${\displaystyle \left(\left({\frac {1}{x}}\right)'=-{\frac {1}{x^{2}}}\right)}$ ושימוש בכלל של פונקציה מורכבת שמובא בהמשך)

הנגזרת של פונקציה מורכבת שווה לנגזרת של הפונקציה החיצונית (כאשר המשתנה הוא הפונקציה הפנימית) כפול הנגזרת של הפונקציה הפנימית (במשתנה x)

${\displaystyle {\Big [}f(g(x)){\Big ]}'=\lim _{h\to 0}\left[{\frac {f(g(x+h))-f(g(x))}{h}}\right]=\lim _{h\to 0}\left[{\frac {f(g(x+h))-f(g(x)}{g(x+h)-g(x)}}\cdot {\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\right]=\lim _{h\to 0}{\frac {f(g(x+h))-f(g(x))}{g(x+h)-g(x)}}\lim _{h\to 0}{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}=f'(g(x))g'(x)}$