נתונים
a
,
b
∈
R
:
a
≤
b
{\displaystyle a,b\in \mathbb {R} :a\leq b}
קטע פתוח:
(
a
,
b
)
=
{
x
∈
R
|
a
<
x
<
b
}
{\displaystyle (a,b)=\{x\in \mathbb {R} |a<x<b\}}
x
{\displaystyle x}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
גדולים ממש מ-
a
{\displaystyle a}
הקטנים ממש מ-
b
{\displaystyle b}
קטע סגור:
[
a
,
b
]
=
{
x
∈
R
|
a
≤
x
≤
b
}
{\displaystyle [a,b]=\{x\in \mathbb {R} |a\leq x\leq b\}}
x
{\displaystyle x}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
a
{\displaystyle a}
או שווים לו והקטנים מ-
b
{\displaystyle b}
או שווים לו .
קטעים חצי-פתוחים וחצי-סגורים:
(
a
,
b
]
=
{
x
∈
R
|
a
<
x
≤
b
}
,
[
a
,
b
)
=
{
x
∈
R
|
a
≤
x
<
b
}
{\displaystyle (a,b]=\{x\in \mathbb {R} |a<x\leq b\}\ ,\ [a,b)=\{x\in \mathbb {R} |a\leq x<b\}}
[
a
,
∞
)
=
{
x
∈
R
|
x
≥
a
}
,
(
a
,
∞
)
=
{
x
∈
R
|
x
>
a
}
{\displaystyle [a,\infty )=\{x\in \mathbb {R} |x\geq a\}\ ,\ (a,\infty )=\{x\in \mathbb {R} |x>a\}}
(
−
∞
,
b
)
=
{
x
∈
R
|
x
<
b
}
,
(
−
∞
,
b
]
=
{
x
∈
R
|
x
≤
b
}
{\displaystyle (-\infty ,b)=\{x\in \mathbb {R} |x<b\}\ ,\ (-\infty ,b]=\{x\in \mathbb {R} |x\leq b\}}
בכל ההגדרות הללו, כפי שנראה בהמשך, ישנה חשיבות רבה להבחנה בין
<
{\displaystyle <}
≤
{\displaystyle \leq }
[
a
,
a
]
=
a
,
(
a
,
a
)
=
∅
,
(
−
∞
,
∞
)
=
R
{\displaystyle [a,a]=a\ ,\ (a,a)=\varnothing \ ,\ (-\infty ,\infty )=\mathbb {R} }
משפט חשוב בנושא קטעים הוא הלמה של קנטור (מהמילה Lemma). הלמה אומרת:
[
a
n
,
b
n
]
{\displaystyle [a_{n},b_{n}]}
∀
n
∈
N
:
a
n
<
a
n
+
1
<
b
n
+
1
<
b
n
{\displaystyle \forall \ n\in \mathbb {N} :a_{n}<a_{n+1}<b_{n+1}<b_{n}}
∃
c
∈
R
:
⋂
n
=
1
∞
[
a
n
,
b
n
]
=
{
c
}
{\displaystyle \exists \ c\in \mathbb {R} :\bigcap _{n=1}^{\infty }[a_{n},b_{n}]=\{c\}}
מקור:
ויקיספר העברי
· רישיון CC BY-SA 4.0 · התוכן עובד והותאם
→ מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות / פונקציות מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות / פעולות אריתמטיות על קבוצות ← 
![{\displaystyle [a,b]=\{x\in \mathbb {R} |a\leq x\leq b\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e6100ec216df290e72271928f18c055fe0aafb7)
![{\displaystyle (a,b]=\{x\in \mathbb {R} |a<x\leq b\}\ ,\ [a,b)=\{x\in \mathbb {R} |a\leq x<b\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0bfd7d372564602ce90336835b9a2e5f15c3035)
![{\displaystyle (-\infty ,b)=\{x\in \mathbb {R} |x<b\}\ ,\ (-\infty ,b]=\{x\in \mathbb {R} |x\leq b\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27d67d5036fdf76533446c0b304950e7f289fa1e)
![{\displaystyle [a,a]=a\ ,\ (a,a)=\varnothing \ ,\ (-\infty ,\infty )=\mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/844a15951ac72dd9b2fd2ec585b91ca0b61b0a0b)
![{\displaystyle [a_{n},b_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e30ce1f218c7164247ad32fbbcde76c02c817bd1)
![{\displaystyle \exists \ c\in \mathbb {R} :\bigcap _{n=1}^{\infty }[a_{n},b_{n}]=\{c\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b565a0c5704cc4660758f2f18b31016dbd99d19)